Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Sejam v → , w → ∈ V 3 vetores não nulos e P e Q pontos do espaço E 3 . Considere o sistema de equações:

P X → ∧ v → = 0 → Q X → ∙ w → = 0

Na incógnita X ∈ E 3 e as seguintes afirmações:

I )   se P ≠ Q e v → ∙ w → = 0 , então o sistema não tem solução;

I I ) se P = Q e v → ∙ w → = 0 , então o sistema tem infinitas soluções;

I I I ) se v → ∙ w → ≠ 0 , então o sistema tem uma única solução.

Assinale a alternativa correta:

a ) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

b ) apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

c ) apenas as afirmações I I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaa, blzz?? Bora lá para mais um probleminha. Nessa questão vamos analisar alternativa por alternativa.

I )   se P ≠ Q e v → ∙ w → = 0 , então o sistema não tem solução;

A ideia aqui será escolher um P e um v → e forçar que a primeira equação seja verdadeira, depois pensamos se existiria um w → e Q que faz a segunda da certa.

Bora lá, tomando P = ( 0,0 , 1 ) , v → = 1,0 , 0   e   X = ( a , b , c )

Nesse caso temos que P X → = ( a , b , c - 1 ) , ou seja:

a , b , c - 1 ∧ 1,0 , 0 =   i j k a b c - 1 1 0 0 =

Por LaPlace

i b c - 1 0 0 - j a c - 1 1 0 + k a b 1 0 =

Ou seja

= 0 , c - 1 , - b = 0,0 , 0

E por isso temos c = 1   e   b = 0

Agora vamos olhar para a segunda e ver se existe Q e w →

Primeiro, sabemos que v → ⊥ w → , uma vez que v → ∙ w → = 0 , ou seja, podemos tomar   w → = ( 0,0 , 1 ) e Q = ( 1,0 , 1 ) por exemplo, lembrando que X = ( a , 0,1 ) , nesse caso teremos:

Q X → ∙ w → = a - 1,0 , 0 ∙ 0,0 , 1 = 0

Ou seja, achamos pontos e vetores que fazem o sistema possuir solução, no caso para os pontos e vetores, temos X = ( a , 0,1 ) solução.

Passo 2

Agora bora para o próximo, bora notar que o sistema se resumi a

P X → ∧ v → = 0 → P X → ∙ w → = 0

Uma vez que P = Q .

Porém, temos uma propriedade sobre produto vetorial que é:

V → ∧ W → = 0   ↔ V → = k W →

Aplicando isso na primeira equação: P X → ∧ v → = 0 →   ↔   P X → = k v →  

Colocando isso na segunda equação:

k v →   ∙ w → = 0

Podemos ver que k v →   ∙ w → = k ( v →   ∙ w → ) = 0

Ou seja, a equação é sempre verdadeira, independe de k , pois v →   ∙ w → = 0 .

Por isso, como temos P , Q , v →   e   w →   fixos, quaisquer e P X → = k v → conseguimos ver que existirá infinitos valores para X , cada um variando dependendo de k e como o sistema dá certo para qualquer k podemos variar o quanto quiser, por isso temos infinitas soluções e a afirmação tá correta.

Passo 3

Agora vamos para a última afirmação

I I I ) se v → ∙ w → ≠ 0 , então o sistema tem uma única solução.

Bora usar novamente que se P X → ∧ v → = 0 →   ↔   P X → = k v → , ou seja:

X - P = k v →   e por isso X = k v → + P  

Olhando a segunda equação, temos que:

Q X → ∙ w → = X - Q ∙ w →

Usando a informação achada:

= k v → + P - Q ∙ w → = 0  

Temos que P - Q =   Q P → , ou seja:

k v → + Q P → ∙ w → = 0

Usando propriedades de produto interno:

k ( v → ∙ w → ) + Q P → ∙ w → = 0

Ou seja, temos que:

k = - Q P → ∙ w → ( v → ∙ w → )  

Como P , Q , v →   e   w →   fixos e ( v → ∙ w → ) ≠ 0 temos que k é único, ou seja, podemos ver que:

X = k v → + P

Será único e determinado, unicamente, pelos valores fixados. Por isso a afirmação é verdadeira.

Assim terminamos com mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra C