Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Considere os vetores u → = ( a , b , c ) , v → = ( d , e , f ) e w → = ( g , h , i ) e a matriz 5 × 3

A = a d g ∎ ∎ ∎ b e h ∎ ∎ ∎ c f i

Onde cada representa um escalar qualquer. (Observação: dois ’s podem representar valores distintos.)

I – Se { u → , v → , w → } é LI, então as colunas de A são LI.

II – Se { u → , v → , w → } é LD, então as colunas de A são LD.

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é verdadeira e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

Passo 1

Vamos lembrar que para o conjunto { u → , v → , w → } ser LD, um dos vetores pelo menos tem que ser CL dos demais.

Vamos supor então que o conjunto é LD e:

u → = α v → + β w →

Substituindo os vetores pelas coordenadas:

( a , b , c ) = α ( d , e , f ) + β ( g , h , i )

Escrevendo em colunas, vamos ter:

a b c = α d e f + β g h i

Ou seja, uma coluna é CL da outra!

Visto isso, vamos analisar as afirmativas.

Passo 2

I – Se { u → , v → , w → } é LI, então as colunas de A são LI.

A matriz A é essa aqui:

A = a d g ∎ ∎ ∎ b e h ∎ ∎ ∎ c f i

Se { u → , v → , w → } for LI, aquilo que vimos no passo 1 não se aplica, ou seja, uma coluna não vai ser CL da outra.

Então, a matriz A que é formada pelos vetores u → , v → , w → nas colunas mais alguns quadradinhos entre eles nas linhas não vai poder ter as colunas LD, independente dos valores dos escalares nos quadradinhos!

Logo, as colunas de A vão ser LI e a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

II – Se { u → , v → , w → } é LD, então as colunas de A são LD.

Isso não necessariamente é verdade, pois apesar de termos as colunas com os coeficientes LD, como vimos no passo 1, pode ser que os escalares que estejam escondidos nos quadradinhos não sejam proporcionais a partir da mesma relação.

Isso é, não necessariamente:

a ∎ b ∎ c = α d ∎ e ∎ f + β g ∎ h ∎ i

Pois apesar de:

a b c = α d e f + β g h i

Pode ser que:

∎ ∎ ≠ α ∎ ∎ + β ∎ ∎

Nesse caso, as colunas não vão ser LD e a afirmação é falsa.

Resposta

(d) I é verdadeira e II é falsa.