Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se u   e v   são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L D (Linearmente Dependente), então u   ×   v   =   0 .

(b) Se u   e v são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L I   (Linearmente Independente), então u   ·   v   =   0 .

Passo 1

  1. Se u   e v   são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L D (Linearmente Dependente), então u   ×   v   =   0 .

Bom para 2 vetores formarem um conjunto L D é preciso que um seja combinação linear do outro. Como são apenas 2 vetores, um tem que ser múltiplo do outro.

Assim posso chamar   v de k u e fazer u   ×   ( k u ) . Dessa forma, como o k é um escalar, posso passar para fora do produto vetorial, ficando k ( u   ×   u ) .

Agora já sabemos a resposta, aprendemos nas propriedades do produto vetorial, que o produto de um vetor por ele mesmo sempre será zero, logo, essa afirmativa é verdadeira.

Passo 2

(b) Se u   e v são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L I   (Linearmente Independente), então u   ·   v   =   0 .

Essa afirmativa é falsa, os vetores que tem produto interno igual a zero são ortogonais e todos os vetores ortogonais são L I , mas a recíproca não é verdadeira!! Vou pegar dois vetores L I   (que não são múltiplos um do outro) pra mostrar pra vocês do que eu tô falando:

u = 1,0 , 0 e v = ( 1,2 , 0 )

1,0 , 0 ⋅ 1,2 , 0 = 1 ≠ 0

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso