Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Prove que: se { v 1 , v 2 , v 3 } é L I e v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } , então { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I .

Passo 1

Vamos com calma, separe em hipóteses e tese a sua proposição.

Hipóteses: { v 1 , v 2 , v 3 } é L I e v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 }

Tese:   { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I

Se temos que provar nossa tese, temos que achar os coeficientes dos vetores { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } todos iguais a zero, e somente zero. (Repare que são apenas 3 vetores!)

Passo 2

Após ter feito isso, vamos equacionar nossa tese. Para isso, vamos aplicar a definição de L I .

a v + v 1 + b v + v 2 + c v + v 3 = 0 ⇒

a v + a v 1 + b v + b v 2 + c v + c v 3 = 0

Lembre-se que o objetivo é achar a = b = c = 0 . Agora, vamos juntar os vetores iguais:

a + b + c v + a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

Passo 3

Agora está na hora de começar a aplicar nossas hipóteses. Vamos rearrumar a equação:

a + b + c v = - a v 1 - b v 2 - c v 3

Repare na hipótese: v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } . Para v pertencer de fato ao espaço gerado, ele tem que ser escrito como uma C L dos demais vetores do s p a n explicitado. Eu sei que não pertence, mas vamos tentar fazer com que ele pertença e chegar em alguma incoerência.

Passo 4

a + b + c v = - a v 1 - b v 2 - c v 3

Assim, ( a + b + c ) v está escrito como uma C L dos demais vetores.

OBS: SE UM MÚLTIPLO DE v PERTENCE À UM s p a n , TODOS OS SEUS MÚLTIPLOS TAMBÉM PERTENCEM. Tente ver um s p a n como um espaço gerado não deslocado. Isto significa, portanto, que v ∈ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } .

Pera aí!!!!!!!!!!!!! Mas a hipótese dizia que ele NÃO PERTENCIA! Eu sei disso e era exatamente aonde eu queria chegar. Chegamos em uma incoerência, mas temos que fazer a hipótese ser verdadeira, e isso só é possível para a + b + c = 0 .

Passo 5

Assim ficamos com:

- a v 1 - b v 2 - c v 3 = 0 ⇔

a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

Pela outra hipótese, temos que { v 1 , v 2 , v 3 } é L I , e é exatamente o que temos aqui!

Então podemos afirmar com isso que:

a = b = c = 0

E, portanto, { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)