Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

A questão 4 c da P 1 era: “Sejam v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3   vetores de R n . Suponha que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes e que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Os vetores v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

  1. Escreva a definição de 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 .
  2. Qual hipótese do enunciado da questão 4 c o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente dependentes
  3. Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares α ,   α 1 ,   α 2 ,   α 3 tais que α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

Passo 1

Letra a)

Antes de começar qualquer coisa, perceba que o exercício está usando a notação de espaço gerado como 〈 … 〉 e não s p a n , mas não se preocupe é a mesma coisa!

Agora vamos a definição de espaço gerado:

Para a definição abaixo basta botar k = 3 .

Passo 2

Letra b)

Joãozinho não usou a hipótese de que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes.

Sem essa hipótese poderíamos ter v 1 ,   v 2 ,   v 3 L I ou L D .

Vamos pegar três vetores L D :

v 1 = 0 , 1 , 1

v 2 = 0,1 , 0

v 3 = 0,0 , 1

Como v 1   é C L de   v 2   e   v 3 , os vetores são L D , o que está ok já que a hipótese de que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes foi descartada.

Agora vamos considerar a hipótese de que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Com isso, temos que pegar um quarto vetor qualquer que não pertença ao espaço gerado por v 1 ,   v 2 ,   v 3 . Assim,

v = 1 , 0 , 0

Logo, o nosso conjunto fica:

0 , 1 , 1 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 , 1 , 0 , 0

E esse conjunto é L D !

Só para você ter certeza de que o conjunto é L D , vamos abrir o sistema:

a 0 ,   1 ,   1 + b 0 ,   1 ,   0 + c 0 ,   0 ,   1 + d 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   0 ,   0

d = 0 a + b = 0 → b = - a a + c = 0 → c = - a

Logo, o conjunto é L D !

Passo 3

Letra c)

Antes de tudo, vamos separar nossas hipóteses e teses:

Hipótese: v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores L I e v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉

Tese: v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes

Partindo da tese:

α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 ⇒

α v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3

Deste modo estamos escrevendo α v como C L dos demais vetores, então α v ∈ s p a n { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , então o mesmo podemos afirmar para v (Lembre-se que se o espaço gerado fosse deslocado, o vetor α v poderia ter perfurado o espaço gerado enquanto o v , um múltiplo menor que α v tocaria com a pontinha de seu vetor exatamente no espaço gerado. Pense no espaço gerado como um plano para visualizar melhor). Entretanto, sabemos por hipótese que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 , logo o único jeito daquela equação ser verdadeira é com α = 0 :

α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

Agora, fica muito fácil! Lembra que o enunciado disse que : v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores L I ? Então agora basta aplicar isso, então podemos dizer que α 1 = α 2 = α 3 = 0 .

E como achamos que α = α 1 = α 2 = α 3 = 0 , o conjunto { v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)