Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Prove que: se { u , v , w } é L I , então { u + v , v + w , w + u } é L I .

Passo 1

Primeiro de tudo vamos separar em hipótese e tese:

Hipótese: { u , v , w } é L I

Tese: { u + v , v + w , w + u } é L I

Vamos começar pela nossa tese, e tentar equacioná-la. O que quer dizer que esse conjunto { u + v , v + w , w + u } seja L I ? (Relembre a definição)

Significa:

a u + v + b v + w + c w + u = 0

Queremos encontrar então que a = b = c = 0 . Se encontrarmos isso, provamos certo!

Passo 2

Cuidado! NÃO COMECE A FALAR QUE a = b = c = 0 , e logo { u , v , w } SÃO L I !

Você ainda não usou nenhuma hipótese! O que temos que fazer é tentar fazer os vetores u , v , w aparecerem de alguma forma. Vamos tentar distribuir os coeficientes.

a u + a v + b v + b w + c w + c u = 0

Passo 3

Temos u , v , w multiplicando muitas constantes, vamos tentar isolar cada um deles:

a + c u + a + b v + b + c w = 0

Agora sim podemos aplicar a hipótese do nosso problema, pois agora temos coeficientes multiplicando nossos vetores isolados. É como se tivéssemos isso aqui:

k 1 u + k 2 v + k 3 w = 0 , sendo k 1 = a + c , k 2 = a + b , k 3 = b + c

Sabendo que { u , v , w } é L I , tudo que é coeficiente e estiver multiplicando cada um dos vetores separados, podemos igualar a zero (relembre a definição).

Passo 4

Igualando os coeficientes acabamos caindo num sistema:

a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0

Lembre-se que o objetivo é encontrar que os coeficientes desta equação

a u + v + b v + w + c w + u = 0

sejam iguais a zero ( a = b = c = 0 ) .

Voltando para o sistema, vamos multiplicar a última linha por ( - 1 ) e somar todas as 3 equações:

a + c + a + b - b - c = 0 ⇒

2 a = 0 ⇒

a = 0

Substituindo nas outras equações encontramos que:

c = b = 0

Logo, encontramos que

a = b = c = 0

e a prova está concluída! =)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)