Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Em Mecânica, se F 1 → , F 2 → , … ,   F n →   ∈ V 3 são forças aplicadas, respectivamente, a pontos A 1 , A 2 , … ,   A n ∈ E 3 , define-se o momento desse sistema forças em relação a um ponto P ∈ E 3 como sendo o vetor M P → ∈ V 3 dado por:

M P → = P A 1 →   ∧ F 1 → + P A 2 → ∧ F 2 → + … + P A n → ∧ F n → .

Considere o sistema formado pelas forças

F 1 → = 1,0 , 0     e     F 2 → = ( 0,1 , 0 )

Aplicadas, respectivamente, aos pontos

A 1 = 0,0 , 0     e   A 2 = 1,0 , 0

E seja M P →   o momento desse sistema de forças em relação a um ponto P ∈ E 3 . Assinale a alternativa correta:

a ) existe um ponto P ∈ E 3 tal que M P → = 0 → ;

b )   o módulo do vetor M p → é independente do ponto P ∈ E 3 ;

c ) para qualquer ponto P ∈ E 3 , o vetor M P → é uma combinação linear de F 1 → e F 2 →

d )   se P ∈ E 3   é um ponto que minimiza o módulo de M P → , então M P → não é uma combinação linear de F 1 → e F 2 →

e ) se P ∈ E 3 é um ponto que minimiza o módulo de M P → , então M P → ≠ 0 → e M P → é uma combinação linear de F 1 → e F 2 → .

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá começar essa provinha.

Bora começar escrevendo o momento em relação aos pontos e forças da questão e depois analisarmos as alternativas, pelo enunciado temos que:

M P → = P A 1 →   ∧ F 1 → + P A 2 → ∧ F 2 →

usando P = ( x , y , z ) , temos que:

P A 1 → = A 1 - P = 0,0 , 0 - x , y , z = - x , - y , - z

P A 2 → = A 2 - P = 1,0 , 0 - x , y , z = 1 - x , - y , - z  

Aplicando no problema, temos:

M P → = - x , - y , - z   ∧ 1,0 , 0 + - x , - y , - z ∧ ( 0,1 , 0 )

Passo 2

Ou seja, primeiro vamos calcular quem é esse cara e depois olhamos para as alternativas.

Agora, vamos lembrar que podemos calcular o produto vetorial da seguinte forma:

- x , - y , - z   ∧ 1,0 , 0 =   i j k - x - y - z 1 0 0

Usando LaPlace na primeira linha:

- x , - y , - z   ∧ 1,0 , 0 = i - y - z 0 0 - j - x - z 1 0 + k - x - y 1 0

Ou seja, temos que:

- x , - y , - z   ∧ 1,0 , 0 = i 0 + j - z + k y = ( 0 , - z , y )

Bora olhar para o outro produto:

- x , - y , - z ∧ 0,1 , 0 = i j k - x - y - z 0 1 0

Por LaPlace novamente:

- x , - y , - z ∧ 0,1 , 0 = i - y - z 1 0 - j - x - z 0 0 + k - x - y 0 1

Ou seja: - x , - y , - z ∧ 0,1 , 0 = i z - j 0 + k - x = ( z , 0 , - x )

Passo 3

Dai, relembrando que

M P → = - x , - y , - z   ∧ 1,0 , 0 + - x , - y , - z ∧ ( 0,1 , 0 )

Temos que:

M P → =   0 , - z , y + z , 0 , - x = z , - z , y - x

Bom, agora nós podemos perceber que a primeira alternativa está correta, pois vamos lembrar que P = ( x , y , z ) , além disso, temos que M P → = 0   ↔ z = 0   e   y = x , ou seja, podemos simplesmente tomar P = ( 1,1 , 0 ) , por exemplo, que temos M P → = 0 .

Vamos falar um pouco das outras alternativas, mesmo sabendo a resposta.

b ) Basta olharmos que M P → = z , - z , y - x , ou seja, o módulo desse cara depende dos valores de x , y   e   z , ou seja, depende de P.

c )   Essa afirmação é falsa, pense que M P → = z , - z , y - x e se tomarmos y = 1   e   x = z = 0 , temos que M P → = 0,0 , 1 que não é combinação de 1,0 , 0   e   ( 0,1 , 0 ) , para ver isso basta ver que a coordenada z de combinações desses 2 carinhas será sempre zero.

d ) Vamos lembrar que o módulo mínimo para um vetor é zero, ou seja, podemos tomar P = ( 1,1 , 0 ) igual da alternativa A, ele minimiza o módulo do vetor M P → , uma vez que M P → = 0 → , quando temos esse ponto P. Porém, veja que M P → = 0,0 , 0 = 0 1,0 , 0 + 0 ( 0,1 , 0 ) , ou seja, é combinação das forças 1 e 2.

e )   Para essa alternativa, basta olharmos a anterior, uma vez que segundo a afirmação se P minimiza o módulo de M P → ele seria não nulo, porém já mostramos que isso não é verdade.

Resposta

Letra E