Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

3. Seja A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores v 1 , v 2 , v 3 pertencentes a R 3 e cujo determinante é igual a zero. Assinale a alternativa VERDADEIRA.

(a) A dimensão do espaço gerado por { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é 2 .

(b) { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é linearmente independente.

(c) Se { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } for um conjunto ortogonal de vetores, então um deles é o vetor nulo.

(d) Um dos produtos internos: v 1 ,   v 2 , v 1 ,   v 3 ou v 2 ,   v 3 é igual à zero.

(e) Não sei.

Passo 1

E aí, galerinha!

Como que foi essa P3 aí!?

O produtor tá aqui pra ajudar a responder todas as questões dessa prova!

Portanto, bora pra terceira questão!

Bora analisar alternativa por alternativa

Passo 2

Letra ( a ) :

Bom! Nessa letra aqui, a coisa já começa errada. A dimensão do espaço gerado por { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é 3 !

Letra ( b ) :

Essa daqui também é falsa, também! Se o determinante deu zero, é porque { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } são linearmente dependentes!

Passo 3

Letra ( c ) :

Para ser um conjunto ortogonal é preciso que o produto interno de um vetor com cada um dos outros dê zero.

Como temos vetores linearmente dependentes, então o único jeito disso acontecer é que um deles seja o vetor nulo.

Letra ( d ) :

Isso aqui, a gente já não tem como garantir, já que é preciso que a base seja ortogonal pra isso acontecer. E a alternativa não nos diz nada!

Resposta

Letra ( c )