Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Qual dos conjuntos abaixo é linearmente independente?

a) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   2 ,   6 ,   5

b) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   1 ,   4 ,   4

c) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   5 ,   5 ,   5

d) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   1 ,   9 ,   7

e) Não sei.

Passo 1

Para vermos qual dos conjuntos é LI, vamos testar afirmativa por afirmativa, até encontrar um conjunto em que um dos vetores não seja combinação linear dos outros dois. Vamos lá:

a) Para que esse conjunto seja LI, temos

α . 1 ,   1 ,   1 + β . 1 ,   5 ,   4 + γ . 2 ,   6 ,   5 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Onde α , β   e γ devem ser iguais a 0 .

Bom, nosso sistema pode ser escrito assim ó:

α ,   α ,   α + β ,   5 β ,   4 β + 2 γ ,   6 γ ,   5 γ = 0 ,   0 ,   0

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

α + β + 2 γ = 0 α + 5 β + 6 γ = 0 α + 4 β + 5 γ = 0

Resolvendo esse sistema, vemos que ele tem infinitas soluções, pois S = γ . ( - 1 ,   - 1 ,   1 ) .

No caso, não temos α = β = γ = 0 , logo, o conjunto não é LI :(

Passo 2

b) Para que esse conjunto seja LI, temos

α . 1 ,   1 ,   1 + β . 1 ,   5 ,   4 + γ . 1 ,   4 ,   4 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Onde α , β   e γ devem ser iguais a 0 .

Bom, nosso sistema pode ser escrito assim ó:

α ,   α ,   α + β ,   5 β ,   4 β + γ ,   4 γ ,   4 γ = 0 ,   0 ,   0

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

α + β + γ = 0 α + 5 β + 4 γ = 0 α + 4 β + 4 γ = 0

Resolvendo esse sistema, encontramos α = β = γ = 0 , portantoo, esse é o sistema LI :D

Para todas as outras alternativas, encontramos sistemas LD.

Resposta

b) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   1 ,   4 ,   4

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .