Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Se { u → ,   v → } é linearmente independente e   { u → ,   v → , w → } é linearmente dependente, então:

I - { u → ,   w → } pode ser um conjunto linearmente independente.

II - { w → } pode ser um conjunto linearmente independente.

(a) Ambas são verdadeiras

(b) Ambas são falsas

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) I é verdadeira e II é falsa  

Passo 1

Vamos lá, se eu tinha um conjunto L I , adicionei um vetor e o conjunto se tornou L D ,   quer dizer que esse vetor que eu adicionei é combinação linear de algum dos vetores ou de ambos os vetores.

Passo 2

I - { u → ,   v → } pode ser um conjunto linearmente independente.

Como eu disse, o vetor que entrou, w → , pode ser combinação apenas de um dos vetores, assim, um conjunto formado por ele e o outro vetor ainda seria L I . Dessa forma, essa afirmativa é verdadeira!

Passo 3

II - { w → } pode ser um conjunto linearmente independente.

Um conjunto formado por apenas um vetor pode ser L I , logo é verdadeira também!!

Tá vendo aquele “pode ser” ali?? Então, toma cuidado com ele!

Essa afirmação só é verdadeira porque tá escrito “pode ser”.

Um conjunto com um só vetor não necessariamente é LI.

Se o vetor for o vetor nulo, então o conjunto é LD.

Aliás, lembra que se o vetor nulo tiver num conjunto, então automaticamente esse conjunto é LD, não esquece disso 😉

Resposta

a

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Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .