Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial sobre R , e u , v   e   w   três vetores em V tal que o conjunto u + v - w , u - v + w , u - v - w   é   L . I . .   Considere as seguintes afirmações:

I   O   c o n j u n t o   u + v , u + w , v + w   é   L . I

I I   O   c o n j u n t o   u - v , u - w , v + w   é   L . I . .    

I I I   O   c o n j u n t o   u , u + v , u + v + w   é   L . D . .  

Passo 1

Falaaa, tranquilo??? Para fazermos essa questão temos que entender qual informação precisamos ter.

As afirmações nos forçam a testar se algo do tipo

a f u , v , w + b g u , v , w + c h u , v , w = 0   → a = b = c = 0

Mas ainda, conseguimos fazer com que fique algo do tipo

u f ' a , b , c + v g ' a , b , c + w h ' a , b , c = 0

Ou seja, se tivermos como achar se o conjunto {u,v,w} é L.I. resolvemos o problema.

Passo 2

Para sabermos se { u , v , w } é L.I, podemos usar a ideia de analisar o espaço gerado por esses vetores, se a dimensão desse espaço for 3, eles são L.I..

u + v - w , u - v + w , u - v - w   ⊆ u , v , w

Como u + v - w , u - v + w , u - v - w   é   L . I   → d i m u + v - w , u - v + w , u - v - w = 3

Agora, se um espaço de dimensão 3 está contido no espaço u , v , w que tem dimensão 3, no máximo, então na verdade temos que dim ⁡ u , v , w = 3 , ou seja { u , v , w } é L.I..

Vamos agora analisar as afirmações:

I   O   c o n j u n t o   u + v , u + w , v + w   é   L . I

a u + v + b u + w + c v + w = 0  

u a + b + v a + c + w b + c = 0

Como { u , v , w } é L.I.

a + b = 0 ; a + c = 0   e   b + c = 0

Daí, tiramos que a = b = c = 0   e, portanto, u + v , u + w , v + w   é   L . I

Passo 3

Agora a afirmação (II):

I I   O   c o n j u n t o   u - v , u - w , v + w   é   L . I . .    

a u - v + b u - w + c v + w = 0

u a + b + v - a + c + w - b + c = 0

Daí, tiramos que a + b = 0 ; c - a = 0 ; c - b = 0   e   p o r t a n t o   a = b = c = 0 ,     l o g o :

u - v , u - w , v + w   é   L . I . .    

Afirmação (III):

I I I   O   c o n j u n t o   u , u + v , u + v + w   é   L . D . .  

a u + b u + v + c u + v + w = 0

u a + b + c + v b + c + w c = 0

a + b + c = 0 b + c = 0                   c = 0                            

Tiramos que a = b = c = 0 , logo   u , u + v , u + v + w   é   L . I

Então a afirmação está errada.

Resposta

Letra A

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .