Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.

  1. Se o conjunto de vetores β = v 1 ,   v 2 ,   v 3 é linearmente dependente, então o subconjunto { v 2 ,   v 3 } ⊂ β é linearmente dependente.
  2. Se k = 2 então o conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 1,1 , 1 ) , ( 0,1 , k ) } é linearmente dependente

Passo 1

  1. Se o conjunto de vetores β = v 1 ,   v 2 ,   v 3 é linearmente dependente, então o subconjunto { v 2 ,   v 3 } ⊂ β é linearmente dependente.

Essa afirmativa nem sempre é verdadeira, pode ser que o que torne o conjunto β L D   seja o vetor v 1 , por exemplo:

v 2 = ( 1,0 )

v 3 = 0,1

v 1 = v 2 + v 3 = ( 1,1 )

Nesse caso { 1,1 , 1,0 , 0,1 } é L D   mas { 1,0 , 0,1 } não.

Assim a afirmativa é falsa!

Passo 2

b) Se k = 2 então o conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 1,1 , 1 ) , ( 0,1 , k ) } é linearmente dependente

Vamos usar a definição de independência linear pra conferir isso aí: tentando escrever o vetor nulo como combinação dos vetores do conjunto. Se eu tiver uma solução não trivial, o conjunto é L D .

0,0 , 0 = a 1,2 , 3 + b 1,1 , 1 + c ( 0,1 , 2 )

a + b = 0 ⟹ b = - a 2 a + b + c = 0 ⟹ c = - a 3 a + b + 2 c = 0

Tenho apenas que b = c = - a , então eu consegui achar uma solução não trivial e o conjunto, de fato é L D .

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira

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Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .