Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

a) Considere o vetor w cujas coordenadas na base canônica são

w = ( 1 ,   1 ,   1 )

Determine se w pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , v 3 . Em caso afirmativo, escreva w como combinação linear de v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 1

a) Para que w possa ser escrito como combinação linear de v 1 ,   v 2 ,   v 3 , temos isso olha:

w = α . v 1 + β . v 2 + δ . v 3

Bom, pra que essa combinação linear seja verdadeira, precisamos encontrar valores para α , β   e δ :

1 ,   1 ,   1 = α . 1 ,   2 ,   1 + β . 1 ,   - 1 ,   2 + δ . ( 0 ,   3 ,   - 1 )

Essa equação, igualando as coordenadas, nos dá o sistema:

α + β = 1 2 α - β + 3 δ = 1 α + 2 β - δ = 1

Passo 2

Da primeira equação, temos α = 1 - β , substituindo nas duas outras equações, ficamos com o sistema:

2 . 1 - β - β + 3 δ = 1 1 - β + 2 β - δ = 1

- 3 β + 3 δ = - 1 β - δ = 0

Dividindo a primeira equação por - 3 :

β - δ = 1 3 β - δ = 0

Opa opa, peraí! Temos duas equações iguais no mesmo sistema, só que uma delas vale 1 3 e a outra 0 , isso nos leva a:

1 3 = 0

Eita, isso não é verdade não né??

Então, o nosso sistema é impossível, e portanto, w não pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 : não existe α , β , δ que satisfaçam nossa equação ok?

Resposta

a) Não é possível.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .