Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Encontre o vetor w → sabendo que o conjunto ( u → ,   v → ,   w → ) é L D .

u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 ) e   w → = ( 1 ,   y ,   1 ) .

Passo 1

Bom, galera vamos começar escrevendo o nosso famigerado sistema.

Ficaria assim:

( 0,0 , 0 ) = a u → + b v → + c w →

0 ,   0 ,   0 = a 1 ,   2 ,   3 + b 1,3 ,   1 + c 1 ,   y ,   1

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 1 b + 1 c     ( I ) 0 = 2 a + 3 b + y c     ( I I ) 0 = 3 a + 1 b + 1 c       ( I I I )

De ( I ) tiramos que a = - b - c   ( i )

Substituindo em ( I I I ) :

0 = 3 - b - c + b + c

0 = - 3 b - 3 c + b + c

0 = - 2 b - 2 c

c = - b     ( i i )

Substituindo ( i i ) em ( i ) , temos

a = - b - - b

a = 0   ( i i i )

Por fim, substituindo ( i i i ) e ( i i ) em ( I I ) :

0 = 2 × 0 + 3 b + y - b

3 b - y b = 0

b 3 - y = 0

Como nossos vetores são L D , b ≠ 0 . Então só nos resta:

3 - y = 0

y = 3

Assim,   w → = ( 1 ,   3 ,   1 )

Resposta

w → = ( 1 ,   3 ,   1 )

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