Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I   Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

I I Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é múltiplo escalar de algum dos demais.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Vamos analisar a I

O legal desse “podemos” na afirmativa é que basta acharmos um exemplo qualquer em que isso seja verdade que provamos a afirmativa!

Vamos ver esse então:

U = 1,0 , 0 , 2,0 , 0 , 0,1 , 0

W = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,2 , 0

Bom, está claro que os dois são L D né? Isso por que em U o segundo vetor é duas vezes o primeiro enquanto que em W o terceiro vetor é duas vezes o segundo.

A ideia é que a partir desses dois conjuntos L D obtermos um conjunto L I .

Pra isso vamos ver U ∩ W :

U ∩ W = 1,0 , 0 , 0,1 , 0

E esse conjunto é L I por que

a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 = ( 0,0 , 0 )

a , b , 0 = ( 0,0 , 0 )

Só tem solução se a = b = 0 ;)

Então conseguimos obter um conjunto L I a partir da interseção de dois conjuntos L D :D

Passo 2

Agora a I I

Quase lá. Essa definição está incompleta na verdade. O certo seria dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é combinação linear de alguns dos demais.

Se algum vetor for soma de outros dois vetores por exemplo não estamos multiplicando nenhum deles por um escalar mas ainda assim formamos um conjunto L D .

Resposta

Letra ( a )

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Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .