Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Qual dentre as proposições abaixo é VERDADEIRA?

( a ) Se v → e w → são tais que v → ≠ w → e v → ≠ 0 → , então o conjunto v → , w → é sempre linearmente dependente.

( b ) Se o conjunto u → , v → é linearmente independente, então o conjunto k u → , k v → também é linearmente independente, para todo número real k ≠ 0 .

( c ) Se v → e w → são tais que v → ≠ w → e v → ≠ 0 → , então o conjunto v → , w → é sempre linearmente independente.

( d ) Se v → ≠ 0 → , então o conjunto v → é sempre linearmente dependente.

Passo 1

Vamos matando as alternativas ;)

a O que ele ta dizendo aí é que um conjunto de dois vetores diferentes com um deles não nulo é sempre L D . É bem fácil pensar um contra-exemplo pra isso né galera? Por exemplo:

1,0 , 0,1

Diferentes entre si, diferentes de 0 e L I .

Passo 2

b   Se um conjunto com dois vetores u → , v → é L I então um conjunto com um múltiplo desses vetores k u → , k v →   também é L I , para qualquer k ≠ 0 .

Bom, se u → e v → são L I então não são C L um do outro. O que pra dois vetores se reduz a não ser múltiplo um do outro.

Po se os vetores não são múltiplos não tem absolutamente nenhum escalar que possamos multiplicar eles (sem ser o 0 ) que vá tornar eles múltiplos né??? Então essa é a certa.

Você também podia pensar que se eles são L I , eles geram espaços diferentes. E os múltiplos k v de um vetor estão todos no espaço gerado por esse vetor. Então ficar pegando múltiplos dos vetores não vai mudar o espaço que eles geram, que continuam sendo diferentes. Então eles continuam sendo L I !

Mas vamos continuar vendo as outras.

Passo 3

c Essa parece com a a né? Só que dessa vez fala que um conjunto de dois vetores diferentes com um deles não nulo é sempre L I . Essa também é fácil de matar, veja esses vetores:

1,0 , 2,0

Diferentes entre si, diferentes de 0 e L D .

Passo 4

d Po essa afirmação não faz sentido nenhum haha. Sabemos que qualquer conjunto com o vetor nulo é L D , mas v → ≠ 0 então não existe essa possibilidade.

Então temos um conjunto com um único vetor diferente de zero correto? Esse conjunto é L D se algum vetor for combinação dos demais, mas não existe demais vetores então obviamente esse conjunto é L I :p

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .