Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Determine se os conjuntos abaixo são L I   ou LD:

a   1 ,   0 ,   3 ,   2 , 2 ,   1 ,   4 ,   3

b   2 ,   0   ,   - 8 , - 3 ,   1 ,   2 ,   ( 2 ,   - 1 ,   2 )

Passo 1

Letra ( a )

Antes de sair montando vários sistemas loucamente, vamos dar uma olhada nos nossos vetores!

Reparem que a segunda coordenada do vetor (1, 0, 3, 2) é zero, ou seja, a única forma desses dois vetores serem uma combinação linear do vetor nulo, é se o coeficiente que multiplica o segundo vetor for zero também! Olha só:

(1, 0, 3, 2)a + (2, 1, 4, 3)b = (0, 0, 0, 0)

A equação das segundas coordenadas seria,

0a + 1b = 0 b = 0

Se substituirmos isso em outra equação, por exemplo

1a + 2b = 0

1a = 0 a = 0

Logo, nosso conjunto de vetores é LI!

Passo 2

Letra ( b )

Nesse caso, como temos três vetores, vamos montar o sistema direitinho para gente não se confundir!

O sistema seria:

  1. 2a + (-3)b + 2c = 0
  2. 0a + 1b + (-1)c = 0
  3. (-8)a + 2b + 2c = 0

Da equação (II) tiramos que b = c ! Já temos nossa primeira relação, UHULL

Substituindo essa relação em (I),

2a – 3b + 2b = 0

2a = b

a = ½ b

Com isso, temos que a = ½ b = ½ c. Logo, qualquer número que obedecer a essa igualdade, vai fornecer o vetor nulo! Olha só:

Vamos fazer a = 1, b = c = 2 (obedece a igualdade!) e substituir em (III), por exemplo

-8 + 4 + 4 = 0

Deu zero!! Showw de bolinhas!!

Então nossos vetores são LD!

Resposta

a   LI

b   LD

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Calcule a norma do vetor dado. v → = 1 2 , 1 3
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .