Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Se A é uma transformação linear, qual das alternativas abaixo é verdadeira?

a Podemos ter v 1 , v 2 , ⋯ , v k linearmente dependentes e A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k linearmente independentes.

b   Se A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente dependentes, então v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente dependentes.

c   Se v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente independentes, então A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente independentes.

d   Se A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente independentes, então v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente independentes.

Passo 1

Vamos analisar letra por letra:

a   Como o conjunto v 1 , v 2 , ⋯ , v k é L D , temos o seguinte:

α 1 v i 1 + α 2 v i 2 + ⋯ + α n v i n = v j

Ou seja, v j é combinação linear de n vetores quaisquer do conjunto. O conjunto A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k é obtido aplicando-se a transformação em todos os vetores do conjunto v 1 , v 2 , ⋯ , v k . Então, se aplicarmos A nos dois lados da equação teremos:

A α 1 v i 1 + α 2 v i 2 + ⋯ + α n v i n = A v j

α 1 A v i 1 + α 2 A v i 2 + ⋯ + α n A v i n = A v j

Ou seja, o vetor A v j se torna combinação linear dos n vetores A v i 1 , A v i 2 , ⋯ , A v i n . Então o conjunto A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k continua L D ! Essa é falsa.

Passo 2

b Imagine que v 1 , v 2 , ⋯ , v k são L I . E que a transformação A leva todos os vetores no zero. Então o conjunto A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k será igual a 0,0 , ⋯ , 0 que é L D .

Opa, temos A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k L D , mas v 1 , v 2 , ⋯ , v k L I então essa letra é falsa.

Passo 3

c   É só usarmos A como a transformação nula de novo. Temos v 1 , v 2 , ⋯ , v k L I , mas A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k = 0,0 , ⋯ , 0 L D . Falsa.

Passo 4

d Só sobrou essa então é a verdadeira :p

A prova dela é parecida com a da a mas como essa prova é de múltipla escolha não vale a pena provar aqui.

Resposta

Letra d