Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Passo 1

Para acharmos a aproximação da variação precisamos achar o valor de P em V = 1 00 e R = 1 0 e o valor aproximado de P para V = 100 - 0,2 = 99,8 e R = 10 + 0,01 = 10,01 .

Então vamos começar achando o valor aproximado de P para V = 99,8 e R = 10,01 ..

Primeiro vamos achar o plano tangente.

Para acharmos o plano tangente primeiro precisamos do vetor gradiente

P = V 2 R

F V , R , P = P R V 2

Agora achamos as derivadas parciais de F

∂ F ∂ V = - 2 P R V 3

∂ F ∂ R = P V 2

∂ F ∂ P = R V 2

O vetor gradiente vai ser

∇ F = - 2 P R V 3 , P V 2 , R V 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O ponto de tangencia vai ser em V = 100 e R = 10 .

Então, antes de calcular o vetor gradiente nesse ponto, precisamos achar o valor de P quando V = 100 e R = 10 :

P = 1 0 0 2 10 = 1 000

O vetor gradiente vai ser

∇ F = - 2 . 1 000 . 10 100 3 , 1000 100 2 , 10 100 2

∇ F = - 0,0 2 ; 0,1 ; 0,00 1

Tranquilo?

Passo 3

O plano tangente vai ser

V , R , P ∙ - 0,02 ; 0,1 ; 0,001 = 1 00 , 1 0 , 1 000 ∙ - 0,02 ; 0,1 ; 0,001

- 0,02 V + 0,1 R + 0,001 P = - 2 + 1 + 1 = 0

P = 0,02 V - 0,1 R 0,001

Passo 4

O valor aproximado de P em V = 99,8 e R = 10,01 vai ser

P = 0,02 V - 0,1 R 0,001

Trocando V e R pelos seus valores, sacou? Então vai ficar

P = 0,02 . ( 99,8 ) - 0,1 . ( 10,01 ) 0,001

P = 995

Passo 5

A variação vai ser então

Δ P = 995 - 1000 = - 5

Resposta

-5

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