Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm

Para isso considere π = 3,14

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu a quantidade de estanho em uma lata, usando diferenciais! Bom, o erro do volume (por causa da espessura da lata) pode ser calculado pelo diferencial das variáveis que compõem a fórmula do volume.

O volume de um sólido que não afina em cima é: Área da base x Altura. Sim, simples assim.

Aí como um cilindro tem área da base um círculo, a expressão pro volume é:

V = π r 2 h

Daí a derivada do volume em relação ao raio é:

V r = 2 π r h

E a derivada do volume em relação a altura é:

V h = π r 2

Daí o diferencial total do volume é:

d V = V r d r + V h d h

d V = 2 π r h   d r + π r 2   d h

Beleza até aqui?

Passo 2

Agora vamos pensar uma coisa: a espessura do raio é contada apenas uma vez, que é o entorno da lata; agora a altura é contada duas vezes, pois temos perda pela tampa e pelo fundo da lata. Assim o valor de d r é igual a 1x a espessura do estanho e d h é 2x.

O valor da altura é h = 12 c m e do raio é r = 4 c m . Vamos considerar π = 3,14 . Agora é só substituir esses valores no diferencial do volume:

d V = 2 π 4 . 12 . 0,04 + π . 4 2 . 0,08 =

d V = 3,8 π + 1,28 π = 5,12 π = 16,08 c m 3

Passo 3

Assim o volume de estanho é igual ao erro do volume que acabamos de calcular:

V e s t a n h o = 16,08 c m 3

Certo?

Vamos pra próxima?

Resposta

16,08 c m 3

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