Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

A gravidade específica S de um objeto é dada pela fórmula S = A A - W onde A é o número de quilogramas no peso do objeto no ar e W é o número de quilogramas no peso do objeto na água. Se o peso de um objeto no ar é de 20Kg com um erro possível de 0,01 Kg e seu peso na água é 12Kg, com um erro possível de 0,02 Kg, encontre, aproximadamente, o erro máximo possível no cálculo de S a partir dessas medidas.

Passo 1

Aqui temos um problema que pede para encontrarmos o erro máximo. Sempre que tivermos uma função, e as variáveis forem medidas com algum erro, basta resolvermos uma diferencial! Lembra da equação diferencial?

Se temos uma função f x , y = z , sua diferencial é dada por:

d z = δ z δ x d x + δ z δ y d y

Em que d x e d y são os erros da medida

Fazendo gora uma analogia para nossa função

f A , W = S = A A - W

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos a diferencial, é só resolvê-la!

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

Resolvendo δ S δ A :

S = A A - W

δ S δ A = A - W - A A - W 2

Resolvendo δ S δ W :

S = A A - W = A A - W - 1

δ S δ W = A A - W 2

Passo 3

Agora basta colocar os resultados anteriores na nossa diferencial

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

d S = A - W - A A - W 2 d A + A A - W 2 d W

E colocar os respectivos erros em d A e d W :

d S = - 12 20 - 12 2   .   0,01 + 20 20 - 12 2   .   0,02

d S = - 12 64   .   0,01 + 20 64   .   0,02

d S = 0,07 16

Resposta

Erro máximo é d S = 0,07 16

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