Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Passo 1

Aqui temos um problema que pede para encontrarmos o erro máximo. Sempre que tivermos uma função, e as variáveis forem medidas com algum erro, basta resolvermos uma diferencial! Lembra da equação diferencial?

Se temos uma função f x , y = z , sua diferencial é dada por:

d z = δ z δ x d x + δ z δ y d y

Em que d x e d y são os erros da medida

Fazendo gora uma analogia para nossa função

f l , g = T = 2 π l g

d T = δ T δ l d l + δ T δ g d g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos a diferencial, é só resolvê-la!

d T = δ T δ l d l + δ T δ g d g

Resolvendo δ T δ l :

T = 2 π l g

δ T δ l = 2 π ∙ 1 2 l g ∙ 1 g

δ T δ l = π g l g

Resolvendo δ T δ g :

T = 2 π l g

δ T δ g = 2 π ∙ 1 2 l g ∙ - l g 2

δ T δ g = - π l g 2 l g

Passo 3

Agora basta colocar os resultados anteriores na nossa diferencial

d T = δ T δ l d l + δ T δ g d g

d T = π g l g d l - π l g 2 l g d g

E colocar os respectivos erros em d l e d g , lembrando que são erros percentuais em cima de l e de g :

d T = π g l g ∙ 0,01 l - π l g 2 l g ∙ 0,03 g

d T = 0,01 π l g l g - 0,03 π l g l g

d T = - 0,02 π l g l g

Temos portanto, um erro relativo de 2 % .

Resposta

2 %

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