Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

A função f ( x ,   y )   =   e x 5 + 3 y 2 + z   satisfaz a equação diferencial

∂ 2 f ∂ x ∂ z + 5 x 4 f = 0

Escolha uma opção:

  1. Verdadeira
  2. Falsa

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado perguntou se a tal função satisfaz aquela equação diferencial. Bom, para resolver esse tipo de questão precisamos derivar o que se pede em cada termo da equação e substituir os resultados. E só aí verificar se a função satisfaz ou não.

Beleza?

Mas calma que vou fazer junto com você!

Vamos nessa?

Passo 2

A função é:

f ( x ,   y )   =   e x 5 + 3 y 2 + z

E a equação diferencial é:

∂ 2 f ∂ x ∂ z + 5 x 4 f = 0

Então precisamos encontrar ∂ 2 f ∂ x ∂ z e substituir na equação e verificar se está certa.

Primeiro vamos fazer a derivada em z :

∂ f ∂ z =   e x 5 + 3 y 2 + z . 1 =   e x 5 + 3 y 2 + z

E agora derivando em relação a x :

∂ ∂ x ∂ f ∂ z = ∂ 2 f ∂ x ∂ z = e x 5 + 3 y 2 + z . 5 x 4 = 5 x 4 e x 5 + 3 y 2 + z

Sacou?

Passo 3

Pronto! Agora precisamos substituir esse resultado na equação diferencial:

∂ 2 f ∂ x ∂ z + 5 x 4 f

E ver se dá zero:

5 x 4 e x 5 + 3 y 2 + z + 5 x 4 . f

= 5 x 4 e x 5 + 3 y 2 + z + 5 x 4 . e x 5 + 3 y 2 + z

= 10 x 4 e x 5 + 3 y 2 + z ≠ 0

Portanto a função não satisfaz a equação diferencial!

Isso mesmo! Falsiane! E a afirmativa é FALSA

Espero ter te ajudado!

Até mais!

Resposta

f a l s o

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