Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON, 2008, pp. 348 - 49

Se r = 5,0   c m e h = 12,0   c m , com precisão milimétrica, qual é o erro máximo percentual que devemos esperar ao calcular V = π r 2 h ?

Passo 1

Primeira coisa que devemos fazer é determinar a função em relação a qual calcularemos o erro percentual.

O problema fornece claramente a função:

V = π r 2 h

O erro percentual é então:

d V V = V r d r + V h d h π r 2 h × 100

Vamos calcular as derivadas parciais e encontrá-lo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando V r :

V r = 2 π r h

Substituindo os valores, temos:

V r = 2 π 5 12 = 120 π

Calculando V h :

V h = π r 2

Substituindo os valores, temos:

V h = π 5 2 = 25 π

Passo 3

Perceba que ele diz no problema que a precisão é milimétrica. Logo o maior erro possível nas medidas é 1 mm = 0,1 cm

Logo temos:

d r = d h = 0,1   c m

Passo 4

Agora é só substituir. Fica assim:

d V V = V r d r + V h d h π r 2 h × 100

Substituindo:

d V V = ( 120 π ) ( 0,1 ) + ( 25 π ) ( 0,1 ) π 5 2 12 × 100

Portanto:

d V V = 4,8333 %

Esse é o maior valor possível do erro percentual

Resposta

O erro máximo percentual é 4,8333 %

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