Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Origem do Exercício

Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com valores R 1 , R 2 , R 3 , então 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 . Se as três resistências medem R 1 = 25 Ω ,   R 2 = 40 Ω ,   R 3 = 50 Ω , com precisão de 0,5 % em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de R .

Passo 1

Opa, escutou erro máximo? Então essa parada vai ter equação diferencial! Lembra dela? Se vc tem uma função f ( x , y ) a diferencial dela vai ser dada por:

d f x , y = δ f x , y δ x d x +   δ f x , y δ y d y

Então, colocando na nossa função R ( R 1 , R 2 , R 3 ) ...

d R R 1 , R 2 , R 3 = δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 d R 1 +   δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 d R 2 + δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 d R 3

Em que cada d R 1 ,   d R 2 e d R 3 são os erros das medidas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ótimo, agora que temos a parada equacionada, é só resolver as derivadas parciais da função R . Para isso, vamos dar uma ajeitadinha nela, porque o que temos mesmo é 1 R . Para isso, vamos ter que usar o menor múltiplo comum nos denominadores, que nada mais é que R 1 . R 2 . R 3 . Fica assim:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Multiplicando em cima e embaixo pelo o que falta para os denominadores virarem R 1 . R 2 . R 3 ...

1 R = 1 R 1 R 2 R 3 R 2 R 3 + 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 3   + 1 R 3 R 1 R 2 R 2 R 2

Isso vira...

1 R = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 R 1 R 2 R 3

Trocando os termos cruzados....

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

Substituindo os valores, teremos que

R = 25.40.50 25.40 + 40.50 + 25.50 = 200 17

Conseguimos! Agora sim podemos continuar!

Passo 3

Vamos resolver as derivadas parciais em relação a R 1 , R 2 e R 3 ? Para isso, usaremos a regra do quociente: se y = u v   ,   y ' = u ' v - v ' u v 2 . Agora é só fingir que y é a nossa função R

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 R 3 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 2 + R 3 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Ficou feio demais, né? Mas vamos abrir essa expressão multiplicando os termos de cima pra ver se ajuda....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 1 R 2 2 R 3 + R 2 2 R 3 2 + R 1 R 2 R 3 2 - R 1 R 2 2 R 3 - R 1 R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos que se anulam, fica:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Beem mais bonito, né?

Agora vem o pulo do gato... Você percebeu que essa expressão é quase idêntica à equação do R ? Ela só está ao quadrado!

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

e

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Vamos então, para encontrarmos a expressão mais simples possível para a nossa derivada parcial, temos que multiplicar por R 1 2 em cima e embaixo, na equação da derivada mesmo. Fica assim:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 1 2 R 1 2

Ok, multiplicando em cima e embaixo nada se altera. Mas agora podemos usar a nossa equação da função R ! Olha que lindo:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2   . R 1 2

Isso nada mais é (olhe bem para a equação do R ) que

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 R 1 2

Como R 1 = 25 e R = 200 17 , teremos que

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = 200 17.25 2

Passo 4

Sim, é exatamente o que você está pensando... Ainda temos que fazer todas essas contas para encontrar as derivadas parciais em relação R 2 e a R 3 hahahaha mas relaxa! Vai dar tudo muito parecido com o que fizemos pra derivada em relação a R 1 !

Usando a regra do quociente novamente, teremos:

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 R 3 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 1 + R 3 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Abrindo a parte de cima da fração teremos:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3 2 + R 1 2 R 3 2 - R 1 2 R 2 R 3 - R 1 R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos opostos do numerador....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

E, finalmente, multiplicando por R 2 2 em cima e embaixo pra podermos usar a expressão de R :

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 2 2 R 2 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 2 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 2 R 2 2

Como R = 200 17 e R 2 = 40 temos que...

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = 200 17.40 2

Passo 5

Agora só falta pro R 3 ! Segura mais um pouquinho que teremos tudo o que precisamos pra descobrir o erro máximo!

Derivando em relação a R 3 ...

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 R 2 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 1 + R 2 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Multiplicando a expressãodo numerador....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 + R 1 R 2 2 R 3 + R 1 2 R 2 R 3 - R 1 2 R 2 R 3 - R 1 R 2 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos opostos...

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

E, agora, colocando R 3 2 em cima e embaixo para usarmos a expressão de R :

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 3 2 R 3 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 3 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 2 R 3 2

Como R = 200 17 e R 3 = 50 , teremos

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = 200 17.50 2

Passo 6

Está pronto! Agora teremos o prazer de ver o tão suado resultado! Basta a gente pegar a equação da diferencial:

d R R 1 , R 2 , R 3 = δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 d R 1 +   δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 d R 2 + δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 d R 3

Substituir os valores das derivadas...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 200 17.25 2 d R 1 +   200 17.40 2 d R 2 + 200 17.50 2 d R 3

Substituir os valores das resistências multiplicadas pelo erro de medida...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 200 17.25 2 . 25.0,005 +   200 17.40 2 . 40.0,005 + 200 17.50 2 . 50.0,005

Podemos colocar o erro em evidência, por questões estéticas XD

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 200 17.25 2 . 25 +   200 17.40 2 . 40 + 200 17.50 2 . 50

Agora, simplificamos, cada um dos parêntesis...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 8 17 2 . 25 +   5 17 2 . 40 + 4 17 2 . 50

O que nos leva a:

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 1600 289 + 1000 289 + 800 289

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 3400 289

Ora, mas 3400 e múltiplo de 34 , e 34 é múltiplo de 17, que, por sua vez, é 289 ! Sim, é zoado, mas ainda dá pra simplificar mais! Olha só:

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 200 17

d R R 1 , R 2 , R 3 = 1 17

Finalmente, encontramos o erro máximo!

Resposta

O erro vale 1 17 Ω

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