Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 30

Em um setor circular, o ângulo central é 80 ° e o raio é 20   c m . Reduzindo-se o ângulo de 1 ° , qual deve ser o acréscimo no raio para que a área fique aproximadamente inalterada?

Lembrete: área do setor circular = θ r 2 2 , θ em radianos.

Passo 1

Como esse lembrete nos lembra (risos), a área A do setor circular é dada por:

A = θ r 2 2

Vamos calcular o diferencial de área desse setor circular.

d A = A r r , θ 0 d r + A θ r , θ 0 d θ

E, como esse diferencial representa o erro da função área, para que a área fique aproximadamente inalterada, queremos que esse erro seja igual a zero. Assim, podemos descobrir quem é o acréscimo d r no raio, dado que o ângulo já foi reduzido de 1 ° , ou seja, d θ = - π 180 .

Sacou? Porque na fórmula da área, o θ está em radianos, então temos que transformar 1 ° em radianos. E é negativo porque foi uma redução.

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Passo 2

Então vamos lá. Comecemos calculando as derivadas parciais da função.

A r = 2 θ r 2 = θ r

A θ = r 2 2

Já sabemos que d θ = - π 180 e r , θ 0 = 20 , 4 π 9

(pois 80 ° = 80 π 180 = 4 π 9 ).

Passo 3

Otimo, agora que já temos tudo o que precisamos, vamos substituir na formula do d A e fazê-lo ser igual a zero.

d A = A r r , θ 0 d r + A θ r , θ 0 d θ

d A = A r 20 , 4 π 9 d r + A θ 20 , 4 π 9 d θ = 0

d A = 4 π 9 . 20 . d r + 20 2 2 . - π 180 = 0

Assim

80 π 9   d r = + 400 π 360

d r = 9 80 π 400 π 360 = 5 40 = 1 8

d r = 0,125   c m

Ou seja, reduzindo-se o ângulo de 1 ° , o raio deve ser acrescido de 0,125   para que a área fique aproximadamente inalterada.

Resposta

Reduzindo-se o ângulo de 1 ° , o raio deve ser acrescido de 0,125   para que a área fique aproximadamente inalterada.

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