Exercícios Resolvidos de Distribuição de Velocidades

Teoria cinética dos Gases

A distribuição de velocidades escalar para as moléculas de um molde certa substância é dada pela função:

  1. De acordo com essa distribuição de velocidades, qual é a velocidade mais provável?
  2. Qual a velocidade quadrática média das moléculas?
  3. Tratando a substância como um gás ideal monoatômico de massa molar M = 20 g , calcule a temperatura da substância em K para esta distribuição.

Dados:

k = 1,38 × 10 - 23   J / K

N A = 6,02 × 10 23

Passo 1

a):

Bom, P v é uma função probabilidade. Então, a velocidade mais provável vai ser aquela que tiver a maior probabilidade em P v , isso é, vai ser aquela que vai gerar um pico no gráfico de P v .

Mas como você pode ver, P ( v ) tem dois intervalos: de 0 a 1 a função é uma parábola e de 1 pra cima o valor do gráfico é 0. Então, o gráfico com as duas partes ficará assim:

Montando o gráfico:

Basicamente só precisamos desenhar a parábola. Descobrindo as raízes:

P v = 0   ↔   - 6 v 2 + 6 v = 0   ↔ v - v + 1 = 0 ↔ v = 0   ou v = 1

Show? São as duas raízes.

Botamos lá encima.

Dai pra achar a velocidade mais provável é só pegar a pegar a velocidade que gera o pico da parábola. Como ver isso? Bem, a o pico da parábola fica bem no meio da parábola...

Então, como as raízes são 0 e 1 , o pico ficará no meio delas. No caso:

v p = 0,5   k m / s

E essa é a velocidade mais provável (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos nos lembrar da relação entre a velocidade quadrática média e a a velocidade mais provável:

v p = v q m 2 3 → v q m = v p 3 2

Então:

v q m = 0,5 . 3 2 ≅ 0,61   k m / s

Passo 3

c):

Vamos usar o valor da velocidade mais provável e a formula que usa a temperatura:

v p = 2 k T m

Dai é só isolar T :

v p 2 . m 2 k = T

Só que esse m é a massa de uma molécula. Precisamos calcular esse m já que não deram pra gente. Mas como nos deram a massa molar e a constante de Avogadro:

m = M N A = 20 x 10 - 3 k g / m o l 6,02 × 10 23 / m o l ≅ 3,32 x 10 - 26   k g

Jogando tudo na equação:

T = v p 2 m 2 k = 0,5 2 . 3,32 x 10 - 26 2.1,38 x 10 - 23 ≅ 3 x 10 - 4 K

Resposta

a):

v p = 0,5   k m / s

b):

v q m ≅ 0,61   k m / s

c):

T ≅ 3 x 10 - 4 K

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