Exercícios Resolvidos de Distribuição de Velocidades

Teoria cinética dos Gases

A figura mostra duas curvas representando possíveis distribuições esfericamente simétricas de velocidades, em três dimensões, das moléculas de uma M E S M A   amostra de gás segundo a distribuição de velocidades de Maxwell.

Considere as seguintes afirmativas:

I A curva I demonstra a situação coma temperatura mais alta.

I I Apesar das curvas serem diferentes, as áreas sob cada curva são iguais.

I I I A fração de moléculas com velocidade superior à 300 m / s é maior para a curva I I .

I V Em ambas as curvas a velocidade mais provável para uma molécula escolhida ao acaso é menor que as respectivas velocidades médias.

As afirmações corretas são:

  1. I ,   I I   e   I I I .
  2. I ,   I I   e   I V .
  3. I ,   I I I   e   I V .
  4. I   e   I V .
  5. Todas.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação:

I - Correta, quanto maior a temperatura, mais achatada vai ser a curva!

I I - Correta! Essa é um pouco mais difícil de entender, mas vamos lá:

As funções de distribuição de velocidades têm no eixo y , probabilidades. São funções de probabilidade, ok?

Então, são sempre números quebrados: 0,3 , 0,4 , 0,5 .

Se quisermos calcular a área sob a curva, o que acharemos?

Acharemos a soma de todas as probabilidades da amostra! E qual é a soma de todas as probabilidades? 100 % , ou 1!

Então, não importa o formato da curva, sempre dará 1. Ou, matematicamente:

∫ f v = 1

Onde f ( v ) é a função de distribuição das probabilidades.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

I I I - Essa é bem tranquila. Dê uma olhada no gráfico. Achou o ponto que tem velocidade 300   m / s ?

Então, trace um linha vertical assim:

Agora veja a área abaixo do gráfico 2 e a área abaixo do gráfico 1, analisando apenas as partes dos gráficos que estão depois da linha vermelha.

Como vimos, a área sob o gráfico nos dá a probabilidade total. Como a área de 2 é menor que a área de 1, a probabilidade total também de 2 também é menor.

Uma probabilidade maior acaba levando a um maior número de moléculas, então, essa afirmativa é falsa. Na verdade, a fração maior pertence ao gráfico 1.

Passo 3

I V - Verdade! Basta olhar na nossa teoria a relação entre a velocidade mais provável de um gás e a sua velocidade média. A relação é:

v p = v m π 2

Como π 2 < 1   → v p < v q m  

Então a velocidade mais provável de uma molécula de um gás é sempre menor que a sua velocidade média.

Resposta

b)

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