Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

Alfredo Steinbruch, Álgebra Linear, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., pp 351 - 22

Efetue uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identifique a cônica e escreva sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico

7 x 2 + 13 y 2 - 6 3 x y - 16 = 0

Passo 1

Essa cônica não está na forma que costumamos ver. Vamos escrever a forma matricial dela.

x y   7 - 3 3 - 3 3 13 ⏟ Q   x y +   0 0   x y = 16

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que encontrar os autovalores de Q .

Bom, para encontrar os autovalores de uma matriz 2x2 fazemos o seguinte:

Q = a 11 a 12 a 21 a 22

Precisamos fazer:

det ⁡ λ I - Q = 0

Isso implica :

λ - a 11 - a 12 - a 21 λ - a 22 = 0

Montamos um polinômio característico e resolvemos. Os valores encontrados vão ser os autovalores. Vou mostrar:

λ - a 11 λ - a 22 - - a 12 - a 21 = 0

No caso, a nossa matriz é:

Q = 7 - 3 3 - 3 3 13

O polinômio característico vai ser:

λ - 7 λ - 13 - - 3 3 - 3 3 = 0

λ 2 - 20 λ - 64 = 0

Resolvendo essa equação, achamos os autovalores de Q , que são λ 1 = 4 e λ 2 = 16

Passo 3

Agora, temos de encontrar os autovetores unitários.

Para uma matriz 2x2:

Q = a 11 a 12 a 21 a 22

Com autovalores λ 1 e λ 2 vamos encontrar autovetores associados a cada autovalor.

No nosso caso:

λ 1 = 4 , λ 2 = 16

Q = 7 - 3 3 - 3 3 13

Autovetor associado a λ 1 :

Q - λ 1 U → = 0

Com U → = ( x u , y u )

A expressão matricial fica:

7 - 4 - 3 3 - 3 3 13 - 4 x u y u = 0 0

Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

3 x u - 3 3 y u = 0

- 3 3 x u + 9 y u = 0

Temos:

x u = 3 y u

Portanto U → = x u , y u = ( 3 y u   ,   y u )  

Arbitrando um valor qualquer para y u , por exemplo y u = 1 temos:

U → = ( 3 , 1 )

Porém necessitamos do autovetor unitário. Fazemos então:

u → = U → U → = 3 2 , 1 2

Passo 4

Autovetor associado a λ 2 :

Q - λ 2 V → = 0

Com V → = ( x v , y v )

A expressão matricial fica:

7 - 16 - 3 3 - 3 3 13 - 16 x u y u = 0 0

Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

- 9 x v - 3 3 y v = 0

- 3 3 x v - 3 y v = 0

Temos:

x v = - 3 3 y v

Portanto V → = x v , y v = - 3 3 y v   ,   y v  

Arbitrando um valor qualquer para y v , por exemplo y v = 1 temos:

V → = - 3 3 , 1

Porém necessitamos do autovetor unitário. Fazemos então:

v → = V → V → = - 1 2 , 3 2 3

Passo 5

Então, reescrevendo a equação temos:

x ' y ' 4 0 0 16 x ' y ' + 0 0 - 3 3 - 1 2 1 3 2 3 x ' y ' = 16

E multiplicando as matrizes, chegamos em:

4 x ' 2 + 16 y ' 2 =   16

Ajeitando:

x ' 2 4 + y ' 2 = 1

Que é a equação de uma elipse.

Passo 6

Seu gráfico é uma elipse rotacionada:

Resposta

É uma elipse. Seu gráfico é:

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