Exercícios Resolvidos de Função Afim

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Enunciado

3. Para cada um dos itens abaixo:

(i) Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real.

(ii) Use sua calculadora para encontrar o intervalo de comprimento 0.01 que contenha uma raiz.

(b) x 5 - x 2 + 2 x + 3 = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que provar que a equação x 5 - x 2 + 2 x + 3 = 0 tem pelo menos um raiz real e temos que obter um intervalo de 0,01 que contenha uma raiz.

Como fazemos isso? 🤔

Para mostrar que a equação tem ao menos uma raiz, temos que encontrar um ponto em que f x = x 5 - x 2 + 2 x + 3 é positiva e um ponto em que f x é negativa.

Depois disso, usamos nossa calculadora para descobrir o intervalo de 0,01 que contém uma raiz.

Pronto? Bora lá! 😊

Passo 2

Se fizermos x = 0 , vamos obter que

f 0 = 0 5 - 0 2 + 2 0 + 3 = 3

Ou seja, nesse ponto, a função está no lado positivo de y .

Agora se fizermos x = - 1

f - 1 = - 1 5 - - 1 2 + 2 - 1 + 3 = - 1

Assim como em x = 0 f x > 0 e em x = - 1 f x < 0 , nesse intervalo - 1,0 deve haver uma raiz real!

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Usando uma calculadora, vamos dividindo esse intervalo - 1,0 até encontrarmos um intervalo menor que 0,01 ...

Para x = - 0,5 , temos

f - 0,5 = 1,72

Então diminuímos nosso intervalo para - 1 , - 0,5 pois em x = - 0,5 a função é positiva.

Dividindo esse intervalo no meio novamente, temos que em x = - 0,75

f - 0,75 = 0,70

Atualizando nosso intervalo, temos - 1 , - 0,75 . Agora para x = - 0,875 ...

f - 0,875 = - 0,03

Portanto x = - 0,875 toma o lugar de - 1 no intervalo resultando em - 0,875 ,   - 0,75

Agora fazemos para x = - 0,8125

f - 0,8125 = 0,36

E atualizando nosso intervalo, temos - 0,875 , - 0,8125

Dividindo esse intervalo ao meio, temos que x = - 0,84375

f - 0,84375 = 0,17

Logo, nosso intervalo passa a ser - 0,875 , - 0,84375 .

Por fim, fazendo para x = - 0,865

f - 0,865 = 0,03

Portanto, nosso intervalo de 0,01 de comprimento é - 0,875 , - 0,865

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

- 0,875 , - 0,865

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