Exercícios Resolvidos de Função Afim

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Enunciado

Seja f x = x 3 - 5 x 2 + 7 x - 9 , para x   ∈   R . Justifique porque podemos afirmar que existe x 0 ∈ R tal que f x 0 = 100 .

Passo 1

E ai cremosos, borá lá?

A função dada é f x =   x 3 - 5 x 2 +   7 x - 9 .

Vamos analisar a possibilidade de encontrar um valor de x para o qual f(x) seja igual a 100.

Para justificar a existência de um valor x 0   R tal que f ( x 0 )   =   100 , podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, também conhecido como Teorema de Bolzano.

Esse teorema estabelece que se uma função contínua f(x) está definida em um intervalo [a, b], e f(a) é diferente de f(b), então para qualquer número real k que esteja entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor x 0 no intervalo [a, b] tal que f ( x 0 ) = k .

No nosso caso, estamos procurando um valor de x_0 tal que f ( x 0 )   =   100 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função f ( x ) para entender como ela varia.

A derivada da função f ( x )   é   f ' ( x )   =   3 x 2 - 10 x   +   7 .

Encontramos os pontos críticos calculando onde a derivada se anula: f ' ( x )   =   0 .

Resolvendo a equação quadrática, encontramos os pontos críticos em x   =   1   e   x   =   7 / 3 .

Agora, podemos construir um gráfico aproximado da função para entender seu comportamento:

- Quando x é negativo, f ( x ) tende a menos infinito à medida que x se afasta do zero.

- Quando x está próximo de 1, a função possui um valor negativo, mas não tão distante de zero.

- Quando x está próximo de 7 / 3 , a função também possui um valor negativo, mas novamente não tão distante de zero.

- À medida que x aumenta além de 7 / 3 ,   f ( x ) começa a aumentar significativamente, já que os termos de maior potência ( x 3 ) começam a dominar.

Passo 3

O que podemos observar é que a função possui um valor próximo a 100 (positivo) para algum valor de x entre 4 e 5, aproximadamente.

Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos afirmar que existe pelo menos um valor x 0 ∈   [ 4 ,   5 ] (ou seja, dentro deste intervalo) tal que f ( x 0 )   =   100 .

Portanto, teoricamente, há pelo menos um valor x 0 ∈ R para o qual a função f x = x 3 -   5 x 2 +   7 x -   9   assume o valor de 100.

Resposta

Portanto, teoricamente, há pelo menos um valor x 0 ∈ R para o qual a função f x = x 3 -   5 x 2 +   7 x -   9   assume o valor de 100.

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