Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

11) Analise o sinal dos polinômios de segundo grau abaixo, seguindo o modelo do item (a);

a) x 2 - 5 x + 6

- Se x ∈ - ∞ , 2 ∪ 3 , ∞ , então x 2 - 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 - 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = 2 ou x = 3 , então x 2 - 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ 2,3 , então x 2 - 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 - 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

b) x 2 - 6 x + 5

c) x 2 - 4

d) x 2 + 5 x + 6

e) - x 2 + 6 x - 5

f) - x 2 - 5 x + 14

g) x 2 - x

h) x 2 - 2 x + 1

i) x 2 - 3

j) x 2

k) 2 x 2 - 5 x + 2

l) x 2 + x + 3

m) - x 2 + x - 3

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos analisar o sinal dos polinômios de segundo grau, como foi feito na letra a.

Pra isso vamos precisar primeiro achar as raízes. Podemos usar Bhaskara. Esse valores que aparem no exemplo são as raízes.

Passo 2

b) x 2 - 6 x + 5

Raízes: x = 1 e x = 5

- Se x ∈ - ∞ , 1 ∪ 5 , ∞ , então x 2 - 6 x + 5 > 0 (isto é, x 2 - 6 x + 5 é um número positivo quando x é um número menor que 1 ou é um número maior que 5).

- Se x = 1 ou x = 5 , então x 2 - 6 x + 5 = 0

- Se x ∈ 1 , 5 , então x 2 - 6 x + 5 < 0 (isto é, x 2 - 6 x + 5 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

c) x 2 - 4

Raízes: x = - 2   e x = 2

- Se x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 2 , ∞ , então x 2 - 4 > 0 (isto é, x 2 - 4 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 2 ou x = 2 , então x 2 - 4 = 0

- Se x ∈ - 2 , 2 , então x 2 - 4 < 0 (isto é, x 2 - 4 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

d) x 2 + 5 x + 6

Raízes: x = - 3 e x = - 2

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ - 2 , ∞ , então x 2 + 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = - 2 , então x 2 + 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 + 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

Passo 3

Atençãooo... quando o sinal do x 2 é negativo dá uma invertida, heim!?

e) - x 2 + 6 x - 5

Raízes: x = 1 e x = 5

- Se x ∈ 1,5 , então x 2 - 6 x + 5 > 0 (isto é, x 2 - 6 x + 5 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = 1 ou x = 5 , então x 2 - 6 x + 5 = 0

- Se x ∈ - ∞ , 1 ∪ 5 , ∞ , então x 2 - 6 x + 5 < 0 (isto é, x 2 - 6 x + 5 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

f) - x 2 - 5 x + 14

Raízes: x = - 7 e x = 2

- Se x ∈ - 7 , 2 , então - x 2 - 5 x + 14 > 0 (isto é, - x 2 - 5 x + 14 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 7 ou x = 2 , então - x 2 - 5 x + 14 = 0

- Se x ∈ - ∞ , - 7 ∪ 2 , ∞ , então - x 2 - 5 x + 14 < 0 (isto é, - x 2 - 5 x + 14 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

g) x 2 - x

Raízes: x = 0 e x = 1

- Se x ∈ - ∞ , 0 ∪ 1 , ∞ , então   x 2 - x > 0 (isto é, x 2 - x é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = 0 ou x = 1 , então x 2 - x = 0

- Se x ∈ 0 , 1 , então x 2 - x < 0 (isto é, x 2 - x é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

Passo 4

h) x 2 - 2 x + 1

Raiz: x = 1

- Se x ∈ 1 , ∞ , então x 2 - 2 x + 1 > 0 (isto é, x 2 - 2 x + 1 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = 1 , então x 2 - 2 x + 1 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 - 2 x + 1 < 0 (isto é, x 2 - 2 x + 1 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

i) x 2 - 3

Raízes: x = - 3 e x = 3

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ 3 , ∞ , então x 2 - 3 > 0 (isto é, x 2 - 3 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = 3 , então x 2 - 3 = 0

- Se x ∈ - 3 , 3 , então x 2 - 3 < 0 (isto é, x 2 - 3 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

j) x 2

Raiz: x = 0

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ - 2 , ∞ , então x 2 + 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = - 2 , então x 2 + 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 + 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

Passo 5

k) 2 x 2 - 5 x + 2

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ - 2 , ∞ , então x 2 + 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = - 2 , então x 2 + 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 + 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

l) x 2 + x + 3

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ - 2 , ∞ , então x 2 + 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = - 2 , então x 2 + 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 + 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

m) - x 2 + x - 3

- Se x ∈ - ∞ , - 3 ∪ - 2 , ∞ , então x 2 + 5 x + 6 > 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número positivo quando x é um número menor que 2 ou é um número maior que 3).

- Se x = - 3 ou x = - 2 , então x 2 + 5 x + 6 = 0

- Se x ∈ - 3 , - 2 , então x 2 + 5 x + 6 < 0 (isto é, x 2 + 5 x + 6 é um número negativo quando x é um número maior que 2 e menor que 3).

Resposta

Respostas nos passos

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