Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

7) Simplifique a expressão abaixo sob a forma de uma única fração:

x 2 1 + x 1 - x - 1 - x 1 + x 1 + x 1 - x - 1 1 - 1 1 + x - 2 ⋅ x + 1

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos ter que simplificar essa expressão aí toda feiosa e deixar ela na forma de uma única fração.

Pra isso vamos ter que, primeiro, transformar todas essas subtrações em uma fração só. Daí depois a gente vai fazer mais mágicas e manipulações algébricas.

Passo 2

Vamos separar em partes...

Primeiro juntando as frações 1 + x 1 - x - 1 - x 1 + x .

Para o MMC entre 1 - x e 1 + x temos 1 - x 1 + x

1 + x 1 - x - 1 - x 1 + x = 1 + x 1 - x ⋅ 1 + x 1 + x - 1 - x 1 + x ⋅ 1 - x 1 - x

= 1 + x 2 - 1 - x 2 1 - x 1 + x

= 1 + 2 x + x 2 - 1 - 2 x + x 2 1 - x 1 + x

= 4 x 1 - x 1 + x

Passo 3

Agora juntando   1 + x 1 - x - 1 :

Para o MMC entre 1 - x e 1 temos 1 - x .

1 + x 1 - x - 1 = 1 + x 1 - x - 1 1 ⋅ 1 - x 1 - x

= 1 + x - 1 - x 1 - x

= 2 x 1 - x

E juntando 1 - 1 1 + x :

Para o MMM entre 1 e 1 + x temos 1 + x .

1 - 1 1 + x = 1 1 ⋅ 1 + x 1 + x - 1 1 + x

= 1 + x - 1 1 + x

= x 1 + x

Passo 4

Substituindo:

x 2 1 + x 1 - x - 1 - x 1 + x 1 + x 1 - x - 1 1 - 1 1 + x - 2 ⋅ x + 1 = x 2 4 x 1 - x 1 + x 2 x 1 - x x 1 + x - 2 ⋅ x + 1

= 4 x 3 1 - x 1 + x 2 x 2 1 - x 1 + x - 2 ⋅ x + 1

Lembrando que a divisão de frações podemos substituir pela multiplicação entre a de cima e o inverso da de baixo:

= 4 x 3 1 - x 1 + x ⋅ 1 - x 1 + x 2 x 2 - 2 ⋅ x + 1

= 2 x - 2 ⋅ x + 1

= 2 x - 1 x + 1

Oh... ficou até que bonitinho. Acabamos essa =)

Resposta

2 x - 1 x + 1

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