Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

O perímetro de um triângulo retângulo é 6 e a hipotenusa é x . Exprima a área do triângulo como função de x .

Passo 1

Olááá, meu anjo! Como eu te disse na teoria, é muito comum, em polinômios, aparecer questões de modelagem de área ou volume, etc.

Primeiramente, vamos desenhar o que temos até agora:

Esse é o desenho! Agora vamos escrever matematicamente o que ele diz em “o perímetro é 6 ”:

a + b + x = 6

E quando ele diz que é um triângulo retângulo, podemos assumir:

x 2 = a 2 + b 2

Passo 2

Maneiro, e o que queremos é:

Á r e a   d o   t r i â n g u l o = 1 2 b a s e × a l t u r a

S = a . b 2

Vamos ter que manipular as duas equações que temos para obter esse produto a . b em função de x .

Passo 3

Comecemos com a seguinte equação:

a + b + x = 6

Bom, a gente sabe que na outra equação temos um a 2 + b 2 , e a única forma desses termos aparecerem é se fizermos as seguintes manipulações:

a + b = 6 - x

a + b 2 = 6 - x 2

a 2 + 2 a . b + b 2 = 6 - x 2

E olha só o que apareceu!!!

a 2 + b 2 + 2 a . b = 6 - x 2

Eu não expandi o lado direito da igualdade por não haver nada que vá nos ajudar!

Passo 4

Agora, da outra equação temos:

a 2 + b 2 = x 2

Então podemos substituir essa relação nesta equação:

a 2 + b 2 + 2 a . b = 6 - x 2

Substituindo:

x 2 + 2 a . b = 6 - x 2

OPAAAAAA, encontramos a . b em função de x !!! Ainda não viu? Saca só:

2 a . b = 6 - x 2 - x 2

Ao simplificarmos os termos, ficamos com:

2 a . b = x 2 - 12 x + 36 - x 2

2 a . b = 36 - 12 x

Dividindo todo mundo por 2, ficamos assim:

a . b = 18 - 6 x

Passo 5

Finalmente, substituindo onde queríamos desde o início:

S = a . b 2

S = 18 - 6 x 2

S = 9 - 3 x

Resposta

S = 9 - 3 x

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