Exercícios Resolvidos de Lei de Brewster

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Enunciado

Na Fig.33-66 um raio luminoso que estava se propagando inicialmente no ar incide em um material 2 com um índice de refração n 2 = 1,5 . Abaixo do material 2 está o material 3 , com um índice de refração n 3 .

O raio incide na interface ar-material 2 com o ângulo de Brewster para essa interface e incide na interface material 2 -material 3 com o ângulo de Brewster para essa interface.

Qual é o valor de n 3 ?

Passo 1

Vamos passo a passo, para não nos perdermos.

O raio luminoso que incide no material 2 incide com o ângulo de Brewster. Com isso, podemos dizer que:

tan ⁡ θ 1 = n 2 n a r = n 2

Pois n a r ≅ 1 .

O enunciado nos diz que n 2 = 1,5 , e podemos achar o ângulo θ 1

θ 1 = tan - 1 ⁡ ( 1,5 ) ≅ 56,31 °

Passo 2

Sabendo o ângulo θ 1 , nós podemos achar θ 2 pois quando o ângulo de incidência é o ângulo de Brewster a sua soma com o ângulo de refração é 90 ° .

θ 1 + θ 2 = 90 °

θ 2 = 90 ° - θ 1 ≅ 33,69 °

Passo 3

O enunciado nos diz que o ângulo de incidência na interface material 2 -material 3 é o ângulo de Brewster. Ou seja, θ 2 é o ângulo de Brewster.

tan ⁡ θ 2 = n 3 n 2

n 3 = tan ⁡ θ 2 ∙ n 2 ≅ tan ⁡ 33,69 ° ∙ 1,5 ≅ 1

Passo 4

Vou mostrar um outro jeito de resolver o problema, que vai nos dar uma resposta exata, mas que talvez não seja tão óbvio de se imaginar. A idéia é fazer tudo de forma literal.

Sabemos que:

n 3 = tan ⁡ θ 2 ∙ n 2

Além disso:

tan ⁡ θ 1 = n 2 n a r = n 2

Substituindo:

n 3 = tan ⁡ ( θ 2 ) tan ⁡ θ 1 ∙ n a r

Como dissemos, sendo θ 1 o ângulo de Brewster, teremos:

θ 1 + θ 2 = 90 °

θ 1 = 90 ° - θ 2

Por fim, vamos ver uma identidade trigonométrica:

tan ⁡ θ 1 = tan ⁡ 90 ° - θ 2 = sen ⁡ 90 ° - θ 2 cos ⁡ 90 ° - θ 2 = cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 = 1 tan ⁡ θ 2

O que mostra que:

n 3 = tan ⁡ ( θ 2 ) tan ⁡ θ 1 ∙ n a r = tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ 2 ∙ n a r = n a r ≅ 1

Resposta

n 3 ≅ 1

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