Encontre o zero de f x = e x - x 2 + 4 com precisão ε = 10 - 6 usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial x 0 .

Passo 1

Fala Aííí! A Primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma aproximação inicial, beleza?! Vamos chutar os valores - 1 ,   0 e 1 . Calculando esses valores na função,

f - 1 ≅ 3.37

f 0 = 5

f 1 ≅ 5.71

Se você for analisar, a multiplicação desses valores dois a dois não dará nenhum valor negativo. Então, pelo teorema de Bolzano, não vamos ter raiz em nenhum dos intervalos com esses números que chutamos.

Eita, e agora? Vamos tentar outros valores né, fazer o que:

f - 2 ≅ 0.135

Opa, estamos mais perto do 0 , vamos tentar descer mais:

f - 3 ≅ - 4.95

OPA, se multiplicarmos f - 2 ∙ f - 3 = 0.135 ∙ - 4.95 = - 0.66825 , temos um valor negativo. Assim, o teorema de Bolzano nos garante que temos pelo menos uma raiz no intervalo - 3 , - 2 .

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

e x - x 2 + 4 = 0

Para fazer isso na nossa equação vamos isolar um dos x !

x 2 = e x + 4

x = ± e x + 4

Se você reparar, o nosso intervalo é do lado negativo - 3 , - 2 . Portanto, vamos considerar somente o

x = - e x + 4

Como g x = x ,

g x = - e x + 4

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente!

Passo 3

Para verificar se a função de iteração vai convergir para a nossa raiz, precisamos verificar duas coisas:

  • Calcular a derivada dessa função g x e verificar se ela e a função em si são contínuas em todo R :
  • g x = - e x + 4

    g ' x = - e x 2 e x + 4

    Ambas g x e g ' x são contínuas em R .

  • Além disso, precisamos verificar se g ' x ≤ k < 1 , para todo x ∈ R !

g ' x = - e x 2 e x + 4 = e x 2 e x + 4 < 1

Temos que g ' x é decrescente e g ' - 2 ≅ - 0.0333 , g ' - 3 ≅ - 0.01237 . Logo, é seguro falarmos que g ' x < 1 no intervalo dado.

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 4

Agora vamos fazer as iterações!!

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = - 2 e nossa precisão é ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = - 2.0335524

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0335524 > 10 - 6

f x 1 = 0.0044655 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Iteração 2 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na primeira iteração:

x 1 = - 2.0335524

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Assim, substituindo na função de iteração:

x 2 = g x 1 = - 2.0324541

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.0010982 > 10 - 6

f x 2 = 0.0001438 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Iteração 3 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na segunda iteração:

x 2 = - 2.0324541

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Assim, substituindo na função de iteração:

x 3 = g x 2 = - 2.0324895

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 3.54 ∙ 10 - 5 > 10 - 6

f x 3 = 4.63 ∙ 10 - 6 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Iteração 4 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na terceira iteração:

x 3 = - 2.0324895

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Assim, substituindo na função de iteração:

x 4 = g x 3 = - 2.0324884

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 1.1 ∙ 10 - 6 > 10 - 6

f x 4 = 1.5 ∙ 10 - 7 < 10 - 6

Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = - 2.0324884 .

Resposta

x - = - 2.0324884

Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo