Encontre o zero de com precisão usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Fala Aííí! A Primeira coisa que precisamos fazer é encontrar uma aproximação inicial, beleza?! Vamos chutar os valores , e . Calculando esses valores na função,
Se você for analisar, a multiplicação desses valores dois a dois não dará nenhum valor negativo. Então, pelo teorema de Bolzano, não vamos ter raiz em nenhum dos intervalos com esses números que chutamos.
Eita, e agora? Vamos tentar outros valores né, fazer o que:
Opa, estamos mais perto do , vamos tentar descer mais:
OPA, se multiplicarmos , temos um valor negativo. Assim, o teorema de Bolzano nos garante que temos pelo menos uma raiz no intervalo .
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Para fazer isso na nossa equação vamos isolar um dos !
Se você reparar, o nosso intervalo é do lado negativo . Portanto, vamos considerar somente o
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente!
Passo 3
Para verificar se a função de iteração vai convergir para a nossa raiz, precisamos verificar duas coisas:
- Calcular a derivada dessa função e verificar se ela e a função em si são contínuas em todo :
- Além disso, precisamos verificar se , para todo !
Ambas e são contínuas em .
Temos que é decrescente e , . Logo, é seguro falarmos que no intervalo dado.
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 4
Agora vamos fazer as iterações!!
Vamos tomar como estimativa inicial e nossa precisão é
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na primeira iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na segunda iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na terceira iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .