Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de 10 - 3 para a equação x 3 - x - 1 = 0 no intervalo 1,2 . Use x 0 = 1

Passo 1

Vamos láá!! A primeira coisa que precisamos encontrar é uma função de iteração g x = x convergente. Para fazer isso, na nossa equação vamos isolar um dos x !

x 3 - x - 1 = 0

Somando ambos os lados da equação por x e 1 , temos

x 3 = x + 1

Agora passando o expoente pro outro lado como raiz, temos

x = x + 1 3

Agora sim, como g x = x ,

g x = x + 1 3

Beleza?! Então achamos uma função de iteração.

Agora vamos testar se ela é convergente!

Passo 2

Para verificar se a função de iteração vai convergir para a nossa raiz, precisamos verificar duas coisas:

  • Calcular a derivada dessa função g x e verificar se ela e a função em si são contínuas em todo R :
  • g x = x + 1 3

    g ' x = 1 3 x + 1 2 3

    g x é contínua em todo R e g ' x é contínua em todo R menos o - 1 .

  • Além disso, precisamos verificar se g ' x ≤ k < 1 , para todo x ∈ R !

Assim,

g ' x = 1 3 x + 1 2 3 < 1

⇒ 1 < 3 x + 1 2 3

⇒ 1 3 3 2 < x + 1

⇒ x > - 0.81

Como nossa raiz está no intervalo 1,2 , não será problema definir um intervalo I centralizado na raiz e que contenha x 0 = 1 obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz!!

Passo 3

Agora vamos fazer as iterações!! Continhas e mais continhas!!

O enunciado nos pede para utilizarmos x 0 = 1 ! E a nossa precisão é ε 1 = ε 2 = 0.001 .

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.2599

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.2599 > 0.001

f x 1 = 0.2599 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Iteração 2 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na primeira iteração:

x 1 = 1.2599

ε 1 = ε 2 = 0.001

Assim, substituindo na função de iteração:

x 2 = g x 1 = 1.3123

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.0524 > 0.001

f x 2 = 0.0524 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.3123

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 3 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na segunda iteração:

x 2 = 1.3123

ε 1 = ε 2 = 0.001

Assim, substituindo na função de iteração:

x 3 = g x 2 = 1.3224

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.0101 > 0.001

f x 3 = 0.0101 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.3224

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 4 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na terceira iteração:

x 3 = 1.3224

ε 1 = ε 2 = 0.001

Assim, substituindo na função de iteração:

x 4 = g x 3 = 1.3243

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.0019 > 0.001

f x 4 = 0.0019 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.3243

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 5 :

Agora vamos utilizar o valor de x que encontramos na quarta iteração:

x 4 = 1.3243

ε 1 = ε 2 = 0.001

Assim, substituindo na função de iteração:

x 5 = g x 4 = 1.3246

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.0004 < 0.001

f x 5 = 0.0004 < 0.001

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.3246 .

Resposta

x - = 1.3246

Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo