Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de para a equação no intervalo . Use
Passo 1
Vamos láá!! A primeira coisa que precisamos encontrar é uma função de iteração convergente. Para fazer isso, na nossa equação vamos isolar um dos !
Somando ambos os lados da equação por e , temos
Agora passando o expoente pro outro lado como raiz, temos
Agora sim, como ,
Beleza?! Então achamos uma função de iteração.
Agora vamos testar se ela é convergente!
Passo 2
Para verificar se a função de iteração vai convergir para a nossa raiz, precisamos verificar duas coisas:
- Calcular a derivada dessa função e verificar se ela e a função em si são contínuas em todo :
- Além disso, precisamos verificar se , para todo !
é contínua em todo e é contínua em todo menos o .
Assim,
Como nossa raiz está no intervalo , não será problema definir um intervalo centralizado na raiz e que contenha obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz!!
Passo 3
Agora vamos fazer as iterações!! Continhas e mais continhas!!
O enunciado nos pede para utilizarmos ! E a nossa precisão é .
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na primeira iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na segunda iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na terceira iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Agora vamos utilizar o valor de que encontramos na quarta iteração:
Assim, substituindo na função de iteração:
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .