Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

Passo 1

Encontrar solução homogênea:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Essa equação é simples de resolver. A equacao característica é:

r 2 + 2 y + 1 = 0

Logo, as raízes são:

r 1 = r 2 = - 1

Assim, a solução homogênea é:

y h x = c 1 e - x + c 2 x e - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

Agora f ( x ) é uma soma de diferentes funções:

  • Função trigonométrica: sen ⁡ x
  • Função trigonométrica: cos ⁡ 2 x

Então y p ( x ) será também uma soma desses tipos de funções:

y p x = A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x          

Passo 3

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea!

Passo 4

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x   y p ' x = A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + 2 C cos ⁡ 2 x - 2 D sen ⁡ 2 x y p ' ' x = - A sen ⁡ x - B cos ⁡ x - 4 C sen ⁡ 2 x - 4 D cos ⁡ 2 x

Passo 5

Substituir na equação e encontrar constantes:

Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:

y ' ' + 2 y ' + y = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x

- A sen ⁡ x - B cos ⁡ x - 4 C sen ⁡ 2 x - 4 D cos ⁡ 2 x + 2 A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + 2 C cos ⁡ 2 x - 2 D sen ⁡ 2 x + ( A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x   ) = sen ⁡ x + cos ⁡ 2 x

Separando cada um dos coeficientes e igualando, temos que:

- A - 2 B + A = 1 - B + 2 A + B = 0 - 4 C - 4 D + C = 0 - 4 D + 4 C + D = 3

Assim, chegamos a:

A = 0 B =   - 1 2 C = 12 25   D =   - 9 25

Passo 6

Assim, a solução geral é da forma:

y x = y h x + y p ( x )

→ y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + - 1 2 cos ⁡ x + 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x  

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + - 1 2 cos ⁡ x + 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas