Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

Encontre a solução geral da equação

y ' ' - 2 y ' - 8 y = e - 2 x + 2 x 2

Passo 1

Bom, a primeira coisa a se fazer é identificar que essa é uma EDO de 2 ª ordem não homogênea com coeficientes constantes. Então temos que resolver o caso homogêneo antes de tudo!

y ' ' - 2 y ' - 8 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, o nosso polinômio característico:

r 2 - 2 r - 8 = 0

r 1 = 4   e   r 2 = - 2

Então a solução da homogênea:

y h = c 1 e 4 x + c 2 e - 2 x

Passo 3

Agora vamos para o caso não homogêneo:

y ' ' - 2 y ' - 8 y = e - 2 x + 2 x 2

Temos que chutar uma solução (chute consciente, claro rs). Vamos considerar esse caso primeiro:

y ' ' - 2 y ' - 8 y = e - 2 x

Como temos uma exponencial, vamos chutar uma exponencial:

y p 1 = A e - 2 x

Agora vamos ver se existe algum termo nesse y p que é está presente em y h .

EPA! Tem sim, então a gente precisa multiplicar y p por x :

y p 1 = x A e - 2 x

Passo 4

Agora sim! Vamos calcular as derivadas:

y ' p 1 = A e - 2 x - 2 x A e - 2 x

y ' ' p 1 = - 4 A e - 2 x + 4 x A e - 2 x

Passo 5

Substituindo esses caras na nossa EDO:

- 4 A e - 2 x + 4 x A e - 2 x - 2 A e - 2 x - 2 x A e - 2 x - 8 x A e - 2 x = e - 2 x

Juntando os termos semelhantes:

e - 2 x - 4 A - 2 A + x e - 2 x 4 A + 4 A - 8 A = e - 2 x

e - 2 x ( - 6 A ) = e - 2 x

E agora a gente compara os coeficientes que acompanham esses caras em cada lada do equação:

- 6 A = 1 → A = - 1 6

y p 1 = - x e - 2 x 6

Passo 6

Vamos agora para o segundo caso:

y ' ' - 2 y ' - 8 y = 2 x 2

Como temos um polinômio, vamos chutar um polinômio:

y p 2 = A x 2 + B x + C

E calculando as derivadas:

y p 2 ' = 2 A x + B

y ' p 2 ' = 2 A

Passo 7

Subtituindo na EDO:

2 A - 2 ( 2 A x + B ) - 8 A x 2 + B x + C = 2 x 2

Juntando os termos semelhantes:

x 2 - 8 A + x - 4 A - 8 B + - 4 B + 2 A - 8 C = 2 x 2

Igualando os coeficientes:

- 8 A = 2 - 4 A - 8 B = 0 - 4 B + 2 A - 8 C = 0

A = - 1 4 ; B = 1 8 ; C = - 3 32

Então ficamos com:

y p 2 = - x 2 4 + x 8 - 3 32

Passo 8

Então a solução geral será:

y x = y h + y p 1 + y p 2

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - 2 x - x e - 2 x 6 - x 2 4 + x 8 - 3 32

Resposta

y x = c 1 e 4 x + c 2 e - 2 x - x e - 2 x 6 - x 2 4 + x 8 - 3 32

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