Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Uma EDO

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 3 e 2 t + 4 cos ⁡ t

possui uma solução particular da forma:

(a) x p t = A e 2 t + B cos ⁡ t

(b) x p t = e 2 t A sen ⁡ t + B cos ⁡ t

(c) x p t = A + B t e 2 t + B cos ⁡ ( 2 t ) + C sen ⁡ ( 2 t )

(d) x p t = A e 2 t + B sen ⁡ t + C cos ⁡ t .

Passo 1

Temos que calcular primeiro a solução x h da equação homogênea pra gente poder determinar qual vai ser a forma da solução particular x p . A equação homogênea é

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 0

Repare que ela já está na forma

a x ' ' + b x ' + c x = 0

com a = 1 ,   b = - 4 e c = 5 .

O discriminante é

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 4 * 1 * 5 = - 4

A equação auxiliar é

r 2 - 4 r + 5 = 0

Como Δ < 0 , temos

r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± i 2 2 = 2 ± i

E também temos r = α ± β i

Comparando as duas expressões, obtemos

α = 2     e     β = 1

Então a solução da equação homogênea é:

x h t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

⇒ x h t = e 2 t ( c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos dar uma olhada na solução particular!

A EDO é:

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 3 e 2 t + 4 cos ⁡ t

No lado direito temos a soma de uma exponencial com uma trigonométrica. Então o nosso “chute” pra x p tem que ser algo do tipo!

Pra exponencial:

3 e 2 t ⇔ A e 2 t

E pra trigonométrica:

4 cos ⁡ t ⇔ B sen ⁡ t + C cos ⁡ t  

Ou seja, pra EDO toda, a nossa solução particular seria:

x p t = A e 2 t + B sen ⁡ t + C cos ⁡ t

Passo 3

Tranquilo, mas se fosse só isso a gente não tinha calculado x h antes!

Temos que testar se a nossa x p não é solução da x h .

Lembrando que:

x h t = e 2 t ( c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t ) = e 2 t c 1 cos ⁡ t + e 2 t c 2 sen ⁡ t

  • Agora temos que nos perguntar: há termo A e 2 t na homogênea?
  • Não! Vemos que há um cos ⁡ t e um sen ⁡ t multiplicando o e 2 t , e não somente uma constante.

    Tem que ficar ligado nessa pegadinha!

  • A outra pergunta é: há termo B sen ⁡ t ou C cos ⁡ t na homogênea?

Não, pelo mesmo motivo! O sen ⁡ t e o cos ⁡ t são multiplicados pelo e 2 t , e não só por uma constante.

Ou seja, nossa x p está certa! :)

x p t = A e 2 t + B sen ⁡ t + C cos ⁡ t

Resposta

Alternativa (d)

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