Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

UFRJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1 Múltipla Escolha

Determine uma solução particular para a equação diferencial: y ' ' - 9 y = t + e 3 t .

a A + B t + C t e 3 t

b A e 3 t + B e - 3 t

c A + B t + C e 3 t

d A t + B t 2 + C t e 3 t

e Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Nossa receita para resolver EDOs dessa forma envolve determinar a solução da EDO homogênea associada. Nossa equação característica é: r 2 - 9 = 0 r 1 = 3 r 2 = - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A solução da homogênea é da forma: y h = A e 3 t + B e - 3 t

Onde A ,   B são números reais quaisquer

Passo 3

Falta ainda determinar uma solução particular da EDO original:Para isso vamos achar uma solução para quando o termo homogêneo for t e outra para quando o termo homogêneo for e 3 t

Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados1º) Vamos tentar chutar, sim é chute mesmo, com o tempo você vai ficando melhor no chute.

Vamos chutar um polinômio do segundo grau. Mas de onde veio esse chute? Esse chute vem de tentar resolver a EDO com termo independente t .

y = a t 2 + b t + c y ' = 2 a t + b y ' ' = 2 a Substituindo esses valores na EDO vamos ficar com: 2 a - 9 a t 2 + b t + c = t

Igualando os coeficientes temos o sistema: 9 a = 0 - 9 b = 1

2 a - 9 c = 0

Cuja solução é o polinômio

y = - t 9

Quando o termo independente for e 3 t vamos chutar A t e 3 t

y ' = A e 3 t + 3 t e 3 t y ' ' = A ( 3 e 3 t + 3 e 3 t + 3 t e 3 t   )

Logo continuando a conta vamos ter: A 6 e 3 t + 9 t e 3 t - 9 A t e 3 t = e 3 t A = 1 6

Passo 4

Portanto uma solução é da forma: t e 3 t 6 - t 9 + A e 3 t + B e - 3 t

Mas como ele só quer a particular:

y p t = t e 3 t 6 - t 9

Que é da forma da alternativa a

Passo 5

Resposta

Letra a

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