Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

EDO de 2ª ordem não homogênea

  1. Determine a solução geral da equação
  2. y ' ' - 9 y = 0

  3. Utilize o resultado do item (a) para determinar a solução geral da equação
  4. y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x

  5. Utilize o resultado do item (b) para determinar a solução do problema de valor inicial

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x y 0 = 0 y ' 0 = 1 6

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' - 9 y = 0

Ótimo! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 0 y ' - 9 y = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = - 9

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( - 9 )

⇒ Δ = 36

⇒ Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 0 r - 9 = 0

⇒ r 2 - 9 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( 0 ) ± 36 2 ( 1 )

Logo:

r 1 = 6 2 ⇒ r 1 = 3   r 2 = - 6 2 ⇒ r 2 = - 3

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

⇒ y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!

Passo 6

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x

Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( x ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x

⇒ f x = 9 x 2 + e 3 x

Passo 7

Encontrar solução homogênea:

y ' ' - 9 y = 0

Acabamos de resolver:

y h x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

Passo 8

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

A função f ( x ) é uma soma de diferentes funções:

  • Função polinomial: 9 x 2
  • Função exponencial: e 3 x

Então y p ( x ) será também uma soma desses tipos de funções:

y p x = A x 2 + B x + C + D e 3 x

Passo 9

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução satisfaz a equação homogênea!

Pois o termo e 3 x está na solução da equação homogênea.

Portanto, temos que multiplicar por x a solução exponencial em y p x :

y p x = A x 2 + B x + C + D x e 3 x

Passo 10

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A x 2 + B x + C + D x e 3 x y p ' x = 2 A x + B + D 1 + 3 x e 3 x y p ' ' x = 2 A + D 6 + 9 x e 3 x

Passo 11

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x

2 A + D 6 + 9 x e 3 x - 9 A x 2 + B x + C + D x e 3 x = 9 x 2 + e 3 x

⇒ - 9 A x 2 - 9 B x - 9 C + 2 A + 6 D e 3 x = 9 x 2 + e 3 x

⇒ - 9 A = 9   - 9 B = 0   - 9 C + 2 A = 0   6 D = 1

Resolvendo o sistema:

A = - 1   B = 0   C = - 2 9   D = 1 6

Passo 12

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p x = A x 2 + B x + C + D x e 3 x

Substituindo as constantes:

y p x = - 1 x 2 + 0 x + - 2 9 + 1 6 x e 3 x

⇒ y p x = - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

Passo 13

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

⇒ y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

⇒ y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

Legal! Item (b) resolvido! Partiu item (c) agora!

Passo 14

Resolver PVI:

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + e 3 x y 0 = 0 y ' 0 = 1 6

Calcular derivada:

y ' x = 3 c 1 e 3 x - 3 c 2 e - 3 x - 2 x + 1 6 1 + 3 x e 3 x

Calcular y ( 0 ) e y ' ( 0 ) :

y 0 = c 1 + c 2 - 2 9

y ' 0 = 3 c 1 - 3 c 2 + 1 6

Substituir condições iniciais dadas:

y 0 = 0 y ' 0 = 1 6

⇒ c 1 + c 2 - 2 9 = 0 3 c 1 - 3 c 2 + 1 6 = 1 6

Resolvendo o sistema:

c 1 = 1 9   c 2 = 1 9

Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

⇒ y x = 1 9 e 3 x + 1 9 e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

⇒ y x = 1 9 e 3 x + e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

E pronto! Item (c) resolvido! Fim!

Resposta

  1. y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

  2. y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

y x = 1 9 e 3 x + e - 3 x - x 2 - 2 9 + 1 6 x e 3 x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas