Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' + 2 y ' + y = sen ⁡ x + 3 cos ⁡ 2 x

Passo 1

Ok, vamos lá. Temos uma EDO de 2ª ordem não homogênea aqui, pois aparece a derivada de segunda ordem e temos funções de x soltas aí. Assim, teremos que a solução do problema será dada pela combinação da parte homogênea com a parte particular: y x = y h x + y p x

Vamos começar encontrando a solução da parte homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para isso, tiramos a EDO homogênea equivalente:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Feito isso, encontramos a equação característica: r 2 + 2 r + 1 = 0

Repare que essa é uma equação na forma: r 2 + 2 a r + a 2 = r + a 2 = 0

Com a = 1 , assim temos um quadrado perfeito do tipo: r 2 + 2 r + 1 = r + 1 2

Beleza, então teremos duas raízes reais idênticas: r 1 = r 2 = - 1

Como as raízes são iguais, colocamos um x multiplicando uma das exponencias da solução homogênea.

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x

y h x = c 1 e - x + c 2 x e - x

Passo 3

Legal, a solução homogênea já foi, agora vamos olhar para parte particular. Temos que todas as funções são trigonométricas aqui, porém temos x como argumento em uma e 2 x em outra. Dessa maneira, consideramos a solução particular em duas partes: y p x = y p 1 x + y p 2 x

y p 1 x = A sen ⁡ x + B cos ⁡ x

y p 2 x = C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

Para achar as constantes, substituímos na equação. Vamos começar com y p 1 . Derivando, temos: y p 1 ' x = A sen ⁡ x + B cos ⁡ x ' = A cos ⁡ x - B sen ⁡ x

y p 1 ' ' x = A cos ⁡ x - B sen ⁡ x ' = - A sen ⁡ x - B cos ⁡ x

Agora podemos substituir na EDO. Como estamos considerando y p 1 , descartamos a parte referente a y p 2 :

y ' ' + 2 y ' + y = sen ⁡ x

- A sen ⁡ x - B cos ⁡ x + 2 A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + A sen ⁡ x + B cos ⁡ x = sen ⁡ x

Juntamos os termos para comparar: - A - 2 B + A sen ⁡ x + - B + 2 A + B cos ⁡ x = 1 sen ⁡ x + 0 cos ⁡ x

- 2 B sen ⁡ x + 2 A cos ⁡ x = 1 sen ⁡ x + 0 cos ⁡ x

Comparando temos: - 2 B = 1 ⟹ B = - 1 2

2 A = 0 ⟹ A = 0

Portanto y p 1 será: y p 1 x = A sen ⁡ x + B cos ⁡ x  

y p 1 x = - 1 2 cos ⁡ x

Passo 4

Vamos seguir a mesmíssima ideia para y p 2 agora. Derivamos: y p 2 ' x = C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x ' = 2 C cos ⁡ 2 x - 2 D sen ⁡ 2 x  

y p 1 ' ' x = 2 C cos ⁡ 2 x - 2 D sen ⁡ 2 x ' = - 4 C sen ⁡ 2 x - 4 D cos ⁡ 2 x  

Substituindo, agora desconsiderando a parte associada a y p 1 , vamos ter: y ' ' + 2 y ' + y = 3 cos ⁡ 2 x  

- 4 C sen ⁡ 2 x - 4 D cos ⁡ 2 x + 2 2 C cos ⁡ 2 x - 2 D sen ⁡ 2 x +

C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x = 3 cos ⁡ 2 x  

Juntamos os termos para comparar os coeficientes:

- 4 C - 4 D + C sen ⁡ 2 x + - 4 D + 4 C + D cos ⁡ 2 x = 0 sen ⁡ 2 x + 3 cos ⁡ 2 x

- 3 C - 4 D sen ⁡ 2 x + - 3 D + 4 C cos ⁡ 2 x = 0 sen ⁡ 2 x + 3 cos ⁡ 2 x

Obtemos o sistema: - 3 C - 4 D = 0 4 C - 3 D = 3

Para resolver, multiplicamos a primeira equação por 4 e a segunda por 3 :

- 12 C - 16 D = 0 12 C - 9 D = 9

Somando as duas:

- 25 D = 9 ⟹ D = - 9 25

Assim, substituindo na segunda equação do sistema original: 4 C + 3 ⋅ 9 25 = 3

4 C + 27 25 = 3

4 C = 75 25 - 27 25

4 C = 48 25

C = 12 25

Logo y p 2 será:

y p 2 x = C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

y p 2 x = 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x

Ou seja, nossa solução particular será:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

y p x = - 1 2 cos ⁡ x + 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x

Passo 5

Agora que encontramos tudo, vamos substituir na solução geral:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + - 1 2 cos ⁡ x + 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x

E é isso. 😊

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 x e - x + - 1 2 cos ⁡ x + 12 25 sen ⁡ 2 x - 9 25 cos ⁡ 2 x

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