Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

UFRJ, Cálculo 2, P1 2014.1, questão Discursiva 1b

Encontre as soluções das equações:

b) y " - y ' - 2 y = e - x + 4 ,     y 0 = - 2 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Nossa receita para resolver EDOs dessa forma envolve determinar a solução da EDO homogênea associada

Nossa equação característica é: r 2 - r - 2 = 0 r 1 = 2 r 2 = - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A solução da homogênea é da forma: y h = A e 2 x + B e - x

Onde A ,   B são números reais quaisquer

Passo 3

Falta ainda determinar uma solução particular da EDO original:Para isso vamos achar uma solução para quando o termo homogêneo for e - x e outra para quando o termo homogêneo for 4

Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

1º) Vamos tentar chutar, sim é chute mesmo, com o tempo você vai ficando melhor no chute.

Vamos chutar um polinômio do primeiro grau. Mas de onde veio esse chute? Esse chute vem de tentar resolver a EDO com termo independente 4 .

y = a x + b y ' = a y ' ' = 0 Substituindo esses valores na EDO vamos ficar com: 0 - a - 2 a x - 2 b = 4 Igualando os coeficientes temos o sistema: - a = 0 - a - 2 b = 4

b = - 2

Cuja solução é:

y = - 2

Quando o termo independente for e - x vamos chutar A x e - x

y ' = A e - x - x e - x y ' ' = A - e - x - e - x - x e - x  

Logo continuando a conta vamos ter : A - 2 e - x + x e - x - A e - x - x e - x - A 2 x e - x = e - x A - 3 e - x = e - x A = - 1 3

Passo 4

Portanto uma solução é da forma: y ( x ) = - x e - x 3 - 2 + C e 2 x + D e - x

Vamos usar agora as condições iniciais:

y 0 = - 2 + C + D = - 2 y ' 0 = - 1 3 + 2 C - D = 0

Vamos montar o sistema então:

C + D = 0 2 C - D = 1 3

Cuja solução é C = 1 9 ; D = - 1 9

Passo 5

Nossa solução é então

y x = - x e - x 3 - 2 + e 2 x 9 - e - x 9

Resposta

b) y x = - x e - x 3 - 2 + e 2 x 9 - e - x 9

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