Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

(a) Determine a solução geral da equação

y ' ' + y ' - 2 y = x + sen ⁡ x .

(b) Para que valores de y 0 e y ' 0 obtemos solução limitada em R , isto é,

y x ≤ M ,     ∀ x ∈ R , para alguma constante M > 0 ?

Passo 1

(a)

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea y h ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:

y ' ' + y ' - 2 y = 0

Repare que a equação já está na forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

com a = 1 , b = 1 , c = - 2 .

O discriminante vai ser:

Δ = b 2 - 4 a c = 1 + 8 = 9 > 0  

A equação auxiliar é:

r 2 + r - 2 = 0

⇒   r = - 1 ± 9 2

⇒   r 1 = - 1 + 3 2 = 1     e     r 2 = - 1 - 3 2 = - 2

Então a solução da equação homogênea é

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

⇒ y h x = c 1 e x + c 2 e - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por enquanto tá tranquilo, né? Agora que vai ficar mais tenso, vamos achar a solução particular! A equação é

y ' ' + y ' - 2 y = x + sen ⁡ x

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos a soma de uma função polinomial de grau 1 ( x ) com uma função trigonométrica ( sen ⁡ x ), então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

Vamos fazer

y p x = A x + B + D sen ⁡ x + E cos ⁡ x

Não botei nenhum C pra não confundir com o c 1 e o c 2 , beleza?

Passo 3

Agora vamos derivar esse treco!

y p ' x = A + 0 + D cos ⁡ x + E ( - sen ⁡ x )

⇒ y p ' x = A + D cos ⁡ x - E sen ⁡ x

E a derivada segunda vai ser:

y p ' ' ( x ) = 0 + D - sen ⁡ x - E cos ⁡ x

⇒ y p ' ' ( x ) = - D sen ⁡ x - E cos ⁡ x

Passo 4

Substituindo na EDO:

y p ' ' + y p ' - 2 y p = x + sen ⁡ x

⇒   - D sen ⁡ x - E cos ⁡ x + A + D cos ⁡ x - E sen ⁡ x - 2 A x + B + D sen ⁡ x + E cos ⁡ x = x + sen ⁡ x

⇒ - D sen ⁡ x - E cos ⁡ x + A + D cos ⁡ x - E sen ⁡ x - 2 A x - 2 B - 2 D sen ⁡ x - 2 E cos ⁡ x = x + sen ⁡ x

⇒ A - 2 A x - 2 B + - D - E - 2 D sen ⁡ x + - E + D - 2 E cos ⁡ x = x + sen ⁡ x

⇒ A - 2 B - 2 A x + - 3 D - E sen ⁡ x + - 3 E + D cos ⁡ x = 0 + 1 . x + 1 . sen ⁡ x + 0 . cos ⁡ x

Passo 5

Comparando os 2 lados da equação, chegamos à conclusão que

A - 2 B = 0 - 2 A = 1 - 3 D - E = 1 - 3 E + D = 0

A segunda equação dá

A = - 1 2

E a primeira

A = 2 B

Logo

B = - 1 4

Pela última equação, temos

D = 3 E

O que na terceira equação dá

- 9 E - E = - 10 E = 1

⇒ E = - 1 10

⇒ D = - 3 10

Passo 6

Excelente! Isso significa que a solução particular é:

y p x = - 1 2 x - 1 4 - 3 10 sen ⁡ x - 1 10 cos ⁡ x

E a gente já achou a solução homogênea

y h ( x ) = c 1 e x + c 2 e - 2 x

Logo, a solução geral da EDO é

y x = y h x + y p ( x )

⇒ y x = c 1 e x + c 2 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 3 10 sen ⁡ x - 1 10 cos ⁡ x

Uhuul! :)

Passo 7

(b)

Agora ele quer saber se dá pra achar valores de y 0 e y ' 0 que deixem essa y x limitada.

Vejamos, se a gente botar c 1 = c 2 = 0 já elimina metade dela! E sen ⁡ x e cos ⁡ x já são limitadas! Mas ainda sobrou aquele termo 1 2 x , e esse meu amigo, não tem como anular. Ou seja, não tem nenhuma condição inicial que faça a gente sempre ter y x ≤ M ,     ∀ x ∈ R .

Resposta

(a)

y x = c 1 e x + c 2 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 3 10 sen ⁡ x - 1 10 cos ⁡ x

(b)

Não existem esses valores.

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