Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

EDO de 2ª ordem não homogênea

Determine a solução geral:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

Passo 1

Bem bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro:

r 2 + r + 1 = 0

= 1 2 - 4.1 . 1 = - 3

Assim:

r 1,2 = - 1 ± - 3 2 = - 1 2 ± i 3 2

Assim a solução da homogênea é dada por:

y h = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza clã, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!Então simbora:

Perceba que a que temos uma função exponencial e uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:

y P 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e x

y p = A x 2 + B x + C + D e x

Passo 3

Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.

Passo 4

Agora derivando:

y p ' = 2 A x + B + D e x

y p ' ' = 2 A + D e x

Substituindo esses paranauês loucos na EDO:

2 A + D e x + 2 A x + B + D e x + A x 2 + B x + C + D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Juntando os coeficientes:

A x 2 + 2 A + B x + 2 A + B + C + 3 D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Igualando os coeficientes:

A = 1 2 A + B = 2     B = 2 - 2 A = 2 - 2 = 0

2 A + B + C = - 1 C = - 1 - 2 - 0 = - 3

3 D = 1 D = 1 3

Assim a solução particular é dada por:

y p = x 2 - 3 + 1 3 e x

Passo 5

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

y = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

Resposta

y = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

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