Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

Passo 1

Encontrar solução homogênea:

y ' ' - 9 y = 0

Vamos ver a equação característica:

r 2 - 9 = 0 r = ± 3

Assim, a solução homogênea será:

y h x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

Agora f ( x ) é uma soma de diferentes funções:

  • Função exponencial: 5 e 2 x
  • Função trigonométrica: cos 2 x
  • Função polinomial: 9 x 2 + 2 x

Então y p ( x ) será também uma soma desses tipos de funções:

y p x = A e 2 x Exponencial + B sen 2 x + C cos 2 x Trigonométrica   + D x 2 + E x + F Polinomial

Passo 3

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 x e a outra a ± 3 x .

Passo 4

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A e 2 x + B sen 2 x + C cos 2 x + D x 2 + E x + F y p ' x = 2 A e 2 x + 2 B cos 2 x - 2 C sen 2 x + 2 D x + E y p ' ' x = 4 A e 2 x - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x + 2 D

Passo 5

Substituir na equação e encontrar constantes:

Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

4 A e 2 x - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x + 2 D - 9 A e 2 x + B sen 2 x + C cos 2 x + D x 2 + E x + F = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:

  1. Exponencial
  2. y ' ' - 9 y = 5 e 2 x

    E agora substituindo apenas a parte exponencial:

    4 A e 2 x - 9 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A = 5

    A = - 1

  3. Trigonométrica
  4. y ' ' - 9 y = cos 2 x

    E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:

    - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x - 9 B sen 2 x + C cos 2 x = cos 2 x

    - 4 B - 9 B sen 2 x + - 4 C - 9 C cos 2 x = cos 2 x

    - 13 B sen 2 x - 13 C cos 2 x = cos 2 x

    - 13 B = 0 - 13 C = 1

    Resolvendo o sistema:

    B = 0 ; C = - 1 13 .  

  5. Polinomial

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + 2 x

E agora substituindo apenas a parte polinomial:

2 D - 9 D x 2 + E x + F = 9 x 2 + 2 x

- 9 D x 2 + - 9 E x + 2 D - 9 F = 9 x 2 + 2 x

- 9 D = 9 - 9 E = 2 2 D - 9 F = 0

Resolvendo o sistema:

D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Ótimo! Encontramos todas as constantes:

A = - 1 ; B = 0 ; C = - 1 13 ; D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Não se preocupe se algumas constantes forem “feias”! Isso pode acontecer algumas vezes, não significa necessariamente que você errou algum cálculo!

Passo 6

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p x = A e 2 x Exponencial + B sen 2 x + C cos 2 x Trigonométrica   + D x 2 + E x + F Polinomial

Substituindo as constantes:

y p x = - 1 e 2 x + 0 sen 2 x + - 1 13 cos 2 x + - 1 x 2 + - 2 9 x + - 2 9

y p x = - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Passo 7

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

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