Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2017.1, Questão 2

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + 2 y ' + y = e - t + e - 2 t y 0 = 4 9 ,                   y ' 0 = 7 9

Passo 1

Bem, antes de qualquer coisa a gente tem que buscar a resolução dessa integral de 2 º ordem não homogênea. E como a gente faz isso? Exatamente! Resolvendo a homogênea y h :

y ' ' + 2 y ' + y = 0

E depois resolvendo a particular y p . Bora lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a gente encontrar a solução da homogênea, vamos resolver pela equação característica.

Essa equação é muuuito parecida com a própria EDP homogêne, veja só:

E D O                   y ' ' + 2 y ' + y = 0

E q u a ç ã o   c a r a c t e r i s t i c a                       b 2 + 2 b + 1 = 0                                                                              

Resolvendo então a equação característica

b = - 2 ± 4 - 4 2

Ou seja

b = - 1

Logo, uma solução da homogênea será

y 1 h t = e b = C 1 e - t

Passo 3

Mas epa! Toda homogênea tem duas soluções! Onde está a outra?

Bem, aqui não tem muito por onde correr! Temos que chutar uma outra solução e verificar se vai funcionar por coeficientes a determinar.

Como uma solução deu algo do tipo e - t , para outra solução devemos chutar y 2 h = g t e - t . Derivando esse chute inicial duas vezes não se esquecendo de aplicar a regra do produto e depois da cadeia:

y 2 h ' = g ' t e - t - g t e - t

Derivando novamente para obter y h ' ' lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas...

y 2 h ' ' = g ' t e - t ' - g t e - t '

Calculando cada uma dessas derivadas

y 2 h ' ' = g ' ' t e - t - g ' t e - t - g ' t e - t - g t e - t

Tirando dos parêntesis...

y 2 h ' ' = g ' ' t e - t - g ' t e - t - g ' t e - t + g t e - t  

y 2 h ' ' = g ' ' t e - t - 2 g ' t e - t + g t e - t

Substituindo esses caras que calculamos na EDP homogênea

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Teremos

g ' ' t e - t - 2 g ' t e - t + g t e - t + 2 g ' t e - t - g t e - t + g t e - t = 0

g ' ' t e - t - 2 g ' t e - t + g t e - t + 2 g ' t e - t - 2 g t e - t + g t e - t = 0

Unindo esses termos semelhantes (vão cortar) ganharemos...

g ' ' t e - t = 0

Como e - t nunca é z e r o , a única que pode ser é

g ' ' t = 0

Passo 4

Pow, se g ' ' t = g ' t ' = 0 , a derivada de quem é zero? Isso! A constante! Então g ' t só pode ser uma constante para a derivada dela zerar:

g ' t = K 1

Se integrarmos dos dois lados

g ' t d t = K 1 d t

Lembrando que g ' t d t = g ( t ) , então

g t = K 1 t + K 2

Logo, a segunda solução da homogênea será:

y 2 h = g t e - t

y 2 h = K 1 t + K 2 e - t

y 2 h = ( K 2 e - t + K 1 t e - t )

Observe que K 2 e - t é a mesma coisa da primeira solução que encontramos então não precisa considerar a primeira, sacou? Ficando assim a solução da homogênea

y h = K 2 e - t + K 1 t e - t

Passo 5

Bem, não podemos prosseguir sem a solução particular y p .

Pra encontrar essa solução, novamente vamos usar o nosso “chutômetro”!

Se a E D O :   y ' ' + 2 y ' + y = e - t + e - 2 t tem como equação independente e - t + e - 2 t devemos “chutar”, combinações dessas! Veja só:

A particular será:

y p = A t 2 e - t + B e - 2 t

Repare que no primeiro termo colocamos uma combinação do tipo A t 2 porque a homogênea já nos dá resultado com combinações de menor grau.

Enquanto que na segunda parcela, colocamos apenas B , pois não encontramos nada parecido antes, percebeu? Caso contrário escolheríamos B t e assim por diante!:)

Passo 6

Mas enfim, mãos a obra: derivando y p aplicando a regra da soma:

y p ' = A t 2 e - t ' + B e - 2 t '

Aplicando a regra do produto em cada parcela (e a regra da cadeia também):

y p ' = A ( 2 t e - t - t 2 e - t ) + B ( - 2 e - 2 t ) =

y p ' = - A t 2 e - t + 2 A t e - t - 2 B e - 2 t

Calculando agora a segunda derivada

y p ' ' = - A t 2 e - t ' + 2 A t e - t ' - 2 B e - 2 t '

A derivada da primeira parcela já foi calculada

y p ' ' = - A ( 2 t e - t - t 2 e - t ) + 2 A t e - t ' - 2 B e - 2 t '

Calculando a derivada da segunda

y p ' ' = - 2 A t e - t - A t 2 e - t + 2 A e - t - t e - t - 2 B e - 2 t '

E agora da terceira

y p ' ' = - 2 A t e - t - A t 2 e - t + 2 A e - t - 2 A t e - t - 2 B e - 2 t - 2

y p ' ' = - 2 A t e - t - A t 2 e - t + 2 A e - t - 2 A t e - t + 4 B e - 2 t

Tirando os parênteses

y p ' ' = - 2 A t e - t + A t 2 e - t + 2 A e - t - 2 A t e - t + 4 B e - 2 t

y p ' ' = A t 2 e - t - 4 A t e - t + 2 A e - t + 4 B e - 2 t

Bora juntar tudo na E D O ?

Passo 7

A E D O é

y ' ' + 2 y ' + y = e - t + e - 2 t

Jogando todos os nossos carinhas que determinamos aí:

A t 2 e - t - 4 A t e - t + 2 A e - t + 4 B e - 2 t + 2 - A t 2 e - t + 2 A t e - t - 2 B e - 2 t + A t 2 e - t + B e - 2 t = e - t + e - 2 t

Se acalma, pois muita coisa vai cortar, vem comigo tirando dos parênteses

A t 2 e - t - 4 A t e - t + 2 A e - t + 4 B e - 2 t - 2 A t 2 e - t + 4 A t e - t - 4 B e - 2 t + A t 2 e - t + B e - 2 t = e - t + e - 2 t

Vamos agora unir os termos semelhantes

A t 2 e - t - 4 A t e - t + 2 A e - t + 4 B e - 2 t - 2 A t 2 e - t + 4 A t e - t - 4 B e - 2 t + A t 2 e - t + B e - 2 t = e - t + e - 2 t

Esses montes de termos coloridos vão se cortar e vai sobrar

2 A e - t + B e - 2 t = e - t + e - 2 t

Comparando temos que

2 A = 1               A = 1 2

B = 1

Logo a solução particular é:

y p = A t 2 e - t + B e - 2 t

y p = 1 2 t 2 e - t + e - 2 t

Passo 8

Bem, se temos a solução homogênea y h e temos a particular y p temos a solução geral y :

y = y h + y p

y = K 2 e - t + K 1 t e - t + 1 2 t 2 e - t + e - 2 t

Agora, quem são esses K 1 e K 2 ?

Bem, são constantes que par determina-las vamos usar a condição inicial dada no problema:

y 0 = 4 9 ,                   y ' 0 = 7 9

Fazendo t = 0 na equação de y temos

y ( 0 ) = K 2 e - 0 + K 1 0 e - 0 + 1 2 0 2 e - 0 + e - 2 0

y 0 = K 2 + 1

Pela condição que y 0 = 4 9

K 2 + 1 = 4 9                 K 2 = - 5 9

Para obter K 1 , fazemos y ' = y h ' + y p ' , lembrando que essas derivadas já estão calculadas (Passo 3 e Passo 6).

y ' = g ' t e - t - g t e - t + - A t 2 e - t + 2 A t e - t - 2 B e - 2 t

Como g t = K 1 t + K 2 , A = 1 2 e B = 1

y ' = K 1 e - t - K 1 t - 5 9 e - t - 1 2 t 2 e - t + t e - t - 2 e - 2 t

Substituindo t = 0

y ' = K 1 e 0 - K 1 0 - 5 9 e - 0 - 1 2 0 2 e - t + 0 e - t - 2 e 0

y ' = K 1 - - 5 9 - 2

y ' = K 1 - 13 9

Como y ' 0 = 7 9

K 1 - 13 9 = 7 9

K 1 = 20 9

Portanto a solução do problema inicial é

y = K 2 e - t + K 1 t e - t + 1 2 t 2 e - t + e - 2 t

y = - 5 9 e - t + 20 9 t e - t + 1 2 t 2 e - t + e - 2 t

Resposta

y ( t ) = - 5 9 e - t + 20 9 t e - t + 1 2 t 2 e - t + e - 2 t

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