Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

USP, Cálculo 4, P3 - 2018, Questão 6

Teste 6: Seja y x uma solução de

y ' ' + y = cos x + 8 x 2

Satisfazendo y 0 = 0 . Então, o valor de y π é:

  1. 8 π 2 - 16
  2. - 16
  3. 8 π 2 - 32
  4. π 2 + 8 π 2 - 32
  5. 0

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a solução da parte homogênea:

y ' ' + y = 0  

Por comparação a equação característica é...

r 2 + 1 = 0

r = ± - 1 = ± i

Opa é um número complexo tipo r = a + b i , então a solução da homogênea terá essa cara aqui:

y h = e a x C 1 cos b x + C 2 sin b x

y h = e 0 C 1 cos x + C 2 sin x

y h = C 1 cos x + C 2 sin x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos buscar a solução da parte particular por variação de parâmetros. Como a função que torna a EDO não homogênea é a composição de cosseno e polinômio do segundo grau...

g x = cos x + 8 x 2

A particular terá essa cara aqui:

y p = A cos x + B sin x + C x 2 + D x + E

Como a solução homogênea já possui A cos x , vamos ter que incrementar um x ali assim:

y p = A x cos x + B x sin x + C x 2 + D x + E

Derivando uma vez...

y p ' = A cos x - A x sin x + B sin x + B x cos x + 2 C x + D

Calculando a segunda derivada...

y p ' ' = - A sin x - A sin x + A x cos x + B cos x + B cos x - B x sin x + 2 C  

y p ' ' = - 2 A sin x - A x cos x + 2 B cos x - B x sin x + 2 C

E substituindo-as na EDO:

y ' ' + y = cos x + 8 x 2  

- 2 A sin x - A x cos x + 2 B cos x - B x sin x + 2 C + A x cos x + B x sin x + C x 2 + D x + E = cos x + 8 x 2  

- 2 A sin x + 2 B cos x + C x 2 + D x + E + 2 C = cos x + 8 x 2  

Comparando os dois lados obtemos...

A = 0 B = 1 2 C = 8 D = 0 E + 2 C = 0                           A = 0 B = 1 2 C = 8 D = 0 E = - 16        

Portanto a solução particular é:

y p = 1 2 x sin x + 8 x 2 - 16

E a solução geral...

y = y h + y p        

y = C 1 cos x + C 2 sin x + 1 2 x sin x + 8 x 2 - 16  

Passo 3

Agora vamos aplicar o valor inicial ver a nossa resposta final. No início sabemos:

y 0 = 0  

y = C 1 cos 0 + C 2 sin 0 + 1 2 x sin 0 + 8 0 2 - 16    

y = C 1 - 16    

0 = C 1 - 16    

C 1 = 16

Logo, y π ...

y = 16 cos π + C 2 sin π + 1 2 x sin π + 8 π 2 - 16    

y = - 16 + 8 π 2 - 16    

y = 8 π 2 - 32

Resposta

c )       8 π 2 - 32

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