Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Considere o Problema de Valor Inicial (PVI)

y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 + x d y d x = 0 ,   y 0 = 1

  1. Encontre um fator integrante que torna a equação do PVI acima exata.

Passo 1

Opa! A primeira coisa que a gente tem que fazer é deixar essa EDO com essa cara aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

A gente faz isso “multiplicando” todo mundo por d x na equação que nos foi dada:

y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 d x + x d y = 0

Então a gente tem, comparando as equações: M x , y =   y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 N x , y = x

Daí a gente até consegue ver que a EDO não é exata calculando as derivadas

∂ M ∂ y = ln ⁡ y + 1 + 2 x e x 2 ∂ N ∂ x = 1 e observando que ∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x . Beleza? O que a gente vai fazer agora é achar um cara ou h ( x ) ou um u ( y ) que multiplicado por toda a nossa equação ela se torna exata! Não entendeu? Não esquenta, vamos ver isso com calma, olha só:

Passo 2

Vamos calcular dois termos. O primeiro é através dessa formulinha aqui:

∂ M ∂ y -   ∂ N ∂ x N Se esse cara só depender de x , ele quem vai dar o nosso fator integrante. Caso contrário, vamos seguir para outra continha.

Usando as derivadas que a gente já calculou e a expressão de N temos:

∂ M ∂ y -   ∂ N ∂ x N = ln ⁡ y + 1 +   2 x e x 2 - 1 1 = ln ⁡ y PUTS! Ele só depende de y , então não é o nosso cara.

Passo 3

Vamos ver outro candidato através dessa formulinha aqui:

  ∂ N ∂ x -   ∂ M ∂ y M

Se esse cara só depender de y , esse é o cara que a gente vai usar. Usando as expressões que a gente tem:

  ∂ N ∂ x -   ∂ M ∂ y M = 1 - ln ⁡ y - 1 -   2 x e x 2 y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 =   - ln ⁡ y +   2 x e x 2 y   ln ⁡ y + 2 x e x 2 =   - 1 y

OPAA!! Vimos que esse cara só depende de y , então temos

f y =   - 1 y

Passo 4

Como encontramos o f ( y ) a gente acha o fator integrante através da expressão:

f y = e ∫ f y d y

Muito feio né? Vamos resolver, primeiro, aquela integral que tem ali na expondencial usando o f y que a gente encontrou

∫ f y d y = - ∫ 1 y d y = - ln ⁡ y = ln ⁡ 1 y

Obs: Nesse passo a gente ignora a constante de integração.

Passo 5

Devolvendo a integral na exponencial temos

u y = e ∫ f y d y = e ln ⁡ 1 y

Aí a gente pode usar a propriedade da exponencial e ln ⁡ a = a e, por fim, temos

u y = 1 y Vamos para a próxima?

Resposta

u y = 1 y

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